数学（理科）
参***及评分标准2014．04
一。 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
8）讲评提示：考察函数。
二。填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
13）， 注：每空2分）
14） （注：回答出给4分；答案为或或给3分；其它答案酌情给1~2分；未作答，给0分）
三。解答题：本大题共4小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15）（本小题满分10分）
证明：（ⅰ连接交于点，连接。
在矩形中，.
因为，所以2分。
因为平面，平面，
所以∥平面5分。
ⅱ）在矩形中，.
因为，，平面，平面，所以平面8分。
因为平面。所以。
即是直角三角形10分。
16）（本小题满分11分）
解：（ⅰ因为，所以2分。
因为函数的一个极值点是1,所以。
解得4分。经检验，满足题意。
所以。所以曲线在点处的切线方程是，即。
6分。ⅱ）由（ⅰ）知：.
令，得7分。
当在上变化时，的变化情况如下表。
10分。所以函数在上的最大值为4，最小值为-1611分。
17）（本小题满分12分）
解：（ⅰ因为，所以2分。
令，得． 当变化时，和的变化情况如下：
故的单调递减区间为；单调递增区间为5分。
ⅱ）因为，
所以6分。令，得．
当变化时，和的变化情况如下：
即的单调递增区间为；单调递减区间为8分。
所以的最小值为。
当，即时，函数不存在零点。
当，即时，函数有一个零点10分。
当，即时，， 下证：.
令，则。解得。
当时，，所以函数在上是增函数。
取，得：.所以。
结合函数的单调性可知，此时函数有两个零点。
综上，当时，函数不存在零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点12分。
18）（本小题满分11分）
ⅰ）解：（1）不是，因为线段与线段不垂直；
2）不是，因为线段与线段不垂直2分。
ⅱ）命题“对任意且总存在一条折线有共轭折线”是真命题。理由如下：
当为奇数时，不妨令，取折线。其中，满足。
则折线的共轭折线为折线关于轴对称的折线。如图所示。
当为偶数时，不妨令，取折线。其中，满足。折线的共轭折线为折线。其中满足。如图所示7分。
注：本题答案不唯一。
ⅲ）证明：假设折线是题设中折线的一条共轭折线（其中，），设()，显然为整数。
则由， 得：
由①②③式得。
这与⑤式矛盾，因此，折线无共轭折线11分。
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