2014高考真题·重庆卷(理科数学)
1．[2014高考真题·重庆卷] 复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )
a．第一象限 b．第二象限
c．第三象限 d．第四象限。
1．a [解析] i(1－2i)＝2＋i，其在复平面内对应的点为(2，1)，位于第一象限．
2．[2014高考真题·重庆卷] 对任意等比数列，下列说法一定正确的是( )
a．a1，a3，a9成等比数列
b．a2，a3，a6成等比数列
c．a2，a4，a8成等比数列
d．a3，a6，a9，成等比数列。
2．d [解析] 因为在等比数列中an，a2n，a3n，…也成等比数列，所以a3，a6，a9成等比数列．
3．[2014高考真题·重庆卷] 已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
a．y^＝0.4x＋2.3 b．y^＝2x－2.4
c．y^＝－2x＋9.5 d．y^＝－0.3x＋4.4
3．a [解析] 因为变量x与y正相关，则**性回归方程中，x的系数应大于零，排除b，d；将x＝3，y＝3.5分别代入a，b中的方程只有a满足，故选a.
正相关：自变量增长，因变量增长。
4．[2014高考真题·重庆卷] 已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(
a．－ b．0
c．3 d.
4．c [解析] ∵2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6)，又(2a－3b)⊥c，∴(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.
5．[2014高考真题·重庆卷] 执行如图11所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是( )
图11 a．s> b．s>
c．s> d．s>
5．c [解析] 第一次循环结束，得s＝1×＝，k＝8；第二次循环结束，得s＝×＝k＝7；第三次循环结束，得s＝×＝k＝6，此时退出循环，输出k＝6.故判断框内可填s>.
6．[2014高考真题·重庆卷] 已知命题p：对任意x∈r，总有2x>0，q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )
a．p∧q b．綈p∧綈q
c．綈p∧q d．p∧綈q
6．d [解析] 根据指数函数的图像可知p为真命题．由于“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，所以q为假命题，所以綈q为真命题，所以p∧綈q为真命题．
7．[2014高考真题·重庆卷] 某几何体的三视图如图12所示，则该几何体的表面积为( )
图12a．54 b．60 c．66 d．72
7．b [解析] 由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得，三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5，截去的锥体的底面是两直角边的边长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以表面积为s＝×3×4＋＋×4＋×5＋3×5＝60.
8．[2014高考真题·重庆卷] 设f1，f2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点p使得|pf1|＋|pf2|＝3b，|pf1|·|pf2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )
a. b. c. d．3
8．b [解析] 不妨设p为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有|pf1|－|pf2|＝2a，联立|pf1|＋|pf2|＝3b，平方相减得|pf1|·|pf2|＝，则由题设条件，得＝ab，整理得＝，∴e＝＝＝
9．[2014高考真题·重庆卷] 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
a．72 b．120 c．144 d．168
9．b [解析] 分两步进行：(1)先将3个歌舞进行全排，其排法有a种；(2)将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有2a种．若两歌舞之间有两个其他节目时插法有caa种．所以由计数原理可得节目的排法共有a (2a＋caa)＝120(种)．
10．[2014高考真题·重庆卷] 已知△abc的内角a，b，c满足sin 2a＋sin(a－b＋c)＝sin(c－a－b)＋，面积s满足1≤s≤2，记a，b，c分别为a，b，c所对的边，则下列不等式一定成立的是( )
a．bc(b＋c)>8 b．ab(a＋b)>16
c．6≤abc≤12 d．12≤abc≤24
10．a [解析] 因为a＋b＋c＝π，所以a＋c＝π－b，c＝π－a＋b)，所以由已知等式可得sin 2a＋sin(π－2b)＝sin[π－2(a＋b)]＋即sin 2a＋sin 2b＝sin 2(a＋b)＋，所以sin[(a＋b)＋(a－b)]＋sin[(a＋b)－(a－b)]＝sin 2(a＋b)＋，所以2 sin(a＋b)cos(a－b)＝2sin(a＋b)cos(a＋b)＋，
所以2sin(a＋b)[cos(a－b)－cos(a＋b)]＝所以sin asin bsin c＝.
由1≤s≤2，得1≤bcsin a≤2.由正弦定理得a＝2rsin a，b＝2rsin b，c＝2rsin c，所以1≤2r2·sin asin bsin c≤2，所以1≤≤2，即2≤r≤2 ，所以bc(b＋c)>abc＝8r3sin asin bsin c＝r3≥8.
11．[2014高考真题·重庆卷] 设全集u＝，a＝，b＝，则(ua)∩b
11． [解析] 由题知ua＝，(ua)∩b＝．
12．[2014高考真题·重庆卷] 函数f(x)＝log2·log (2x)的最小值为___
12．－ 解析] f(x)＝log2·log (2x)＝log2 x·2log2(2x)＝log2x·(1＋log2x)＝(log2x)2＋log2x＝－，所以当x＝时，函数f(x)取得最小值－.
13．[2014高考真题·重庆卷] 已知直线ax＋y－2＝0与圆心为c的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于a，b两点，且△abc为等边三角形，则实数a
13．4± [解析] 由题意可知圆的圆心为c(1，a)，半径r＝2，则圆心c到直线ax＋y－2＝0的距离d＝＝.abc为等边三角形，∴|ab|＝r＝2.又|ab|＝2，∴2＝2，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±.
14．[2014高考真题·重庆卷] 过圆外一点p作圆的切线pa(a为切点)，再作割线pbc依次交圆于b，c.若pa＝6，ac＝8，bc＝9，则ab
14．4 [解析] 根据题意，作出图形如图所示，由切割线定理，得pa2＝pb·pc＝pb·(pb＋bc)，即36＝pb·(pb＋9)∴pb＝3，∴pc＝12.由弦切角定理知∠pab＝∠pca，又∠apb＝∠cpa，∴△pab∽△pca，∴＝即ab＝＝＝4.
15．[2014高考真题·重庆卷] 已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，则直线l与曲线c的公共点的极径。
15. [解析] 由题意，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0，曲线c的平面直角坐标方程为y2＝4x，联立直线l与曲线c的方程，解得所以直线l与曲线c的公共点的极径ρ＝＝
极坐标系polarcoordinates在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。在平面上取定一点o，称为极点。从o出发引一条射线ox，称为极轴。
再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点p的位置就可以用线段op的长度ρ以及从ox到op的角度θ来确定，有序数对（ρ，就称为p点的极坐标，记为p（ρ，称为p点的极径，θ称为p点的极角。x=ρcosθ，y=ρsinθ
16．[2014高考真题·重庆卷] 若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是___
16. [解析] 令f(x)＝|2x－1|＋|x＋2|，则①当x<－2时，f(x)＝－2x＋1－x－2＝－3x－1>5；②当－2≤x≤时，f(x)＝－2x＋1＋x＋2＝－x＋3，故≤f(x)≤5；③当x>时，f(x)＝2x－1＋x＋2＝3x＋1>.综合①②③可知f(x)≥，所以要使不等式恒成立，则需a2＋a＋2≤，解得－1≤a≤.
17．[2014高考真题·重庆卷] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
1)求ω和φ的值；
2)若f＝，求cos的值．
17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以(x)的最小正周期t＝π，从而ω＝＝2.
又因为f(x)的图像关于直线x＝对称，所以2×＋φkπ＋，k＝0，±1，±2，….
因为－≤φ所以φ＝－
2)由(1)得＝sin(2×－)所以sin＝.
由＜α＜得0＜α－所以cos＝＝＝
因此cossin α
sinsincos＋cossin
18．，[2014高考真题·重庆卷] 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
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