龙文个性化辅导讲义。
2011学年、第 2 学期）
任教科目： 数学
授课题目：因式分解复习
年级： 八年级
任课教师。龙文师资培训部编制。
主管签名教务长签名。
日期日期。龙文个性化辅导教案。
因式分解的常用方法。
第一部分：方法介绍。
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
一、提公因式法。：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法。
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1 ) a+b)(a-b) =a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2 ) a±b)2 = a2±2ab+b2 ——a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3 ) a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3---a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(4 ) a-b)(a2+ab+b2) =a3-b3 --a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再补充两个常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
例。已知是的三边，且，则的形状是（ ）
a.直角三角形 b等腰三角形 c 等边三角形 d等腰直角三角形。
解： 三、分组分解法。
一）分组后能直接提公因式。
例1、分解因式：
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=每组之间还有公因式！
例2、分解因式：
解法一：第。
一、二项为一组； 解法二：第。
一、四项为一组；
第。三、四项为一组第。
二、三项为一组。
解：原式= 原式=
练习：分解因式1、 2、
二）分组后能直接运用公式。
例3、分解因式：
分析：若将第。
一、三项分为一组，第。
二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式。例4、分解因式：
解：原式=练习：分解因式3、 4、
综合练习：（1） （2）
四、十字相乘法。
一）二次项系数为1的二次三项式。
直接利用公式——进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？
例。已知0＜≤5，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的。
解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求》0而且是一个完全平方数。
于是为完全平方数，
例5、分解因式：
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(3)=1×6=(-1)×(6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=51 2解1 3
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：
解：原式= 1 -1
练习5、分解因式(1) (2) (3)
练习6、分解因式(1) (2) (3)
二）二次项系数不为1的二次三项式——条件：（1
分解结果： =
例7、分解因式：
分析1 -2
解： =练习7、分解因式：（12）
三）二次项系数为1的齐次多项式。
例8、分解因式：
分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b1 -16b
8b+(-16b)= 8b
解： =练习8、分解因式(1) (2) (3)
四）二次项系数不为1的齐次多项式。
例9例10、
1 -2y把看作一个整体 1 -1
2 -3y1 -2
3y)+(4y)= 7y1)+(2)= 3
解：原式解：原式=
练习9、分解因式：（1） （2）
综合练习10、（12）
思考：分解因式：
五、换元法。
例13、分解因式（1）
解：（1）设2005=，则原式=
2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=设，则。原式==
练习13、分解因式（1）
例14、分解因式（1）
观察：此多项式的特点——是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。
方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：原式==
设，则。原式==
解：原式==
设，则。∴原式==
练习14、（1） （2）
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1
解法1——拆项解法2——添项。原式原式=
解：原式=练习15、分解因式。
七、待定系数法。
例16、分解因式。
分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为。解：设=
对比左右两边相同项的系数可得，解得。
原式=例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果有两个因式为和，求的值。
1）分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为。
解：设=则=
比较对应的系数可得：，解得：或。
当时，原多项式可以分解；
当时，原式=；
当时，原式=
2）分析：是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。
2023年中考专题经典复习
2012年中考专题复习 一次函数的应用 1 1 一手机经销商计划购进某品牌的a型 b型 c型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元 设购进a型手机x部，b型手机y部 三款手机的进价和预售价如下表 1 用含x，y的式子表示购进c型手机的部数 2 求出y与x之间的函数关系...
2023年中考专题复习
一 计算试题。一 实数。sin二 代数式的化简。1 2 其中x 2tan45 3 其中。4 其中x满足方程。5 已知，求 6 7 其中a是方程x2 x 6的根 8 已知，求代数式的值 9 先化简，再求值 其中 10 先化简，然后从，1，中选取一个你认为合适的数作为的值代入求值 三 二元一次方程 组 ...
2023年中考复习专题复习
专题一。选择题。1 计算2 3的结果是。a 5b 5c 1d 1 2 今年1至4月份，我省旅游业一直保持良好的发展势头，旅游收入累计达 元，用科学记数法表示是。a.5163 106元 b.5.163 108元 c.5.163 109元 d.5.163 1010元。3.下列各图中，是中心对称图形的是。...