2023年中考数学复习专题四：函数应用。
函数是初中数学重要的组成部分，它有着广泛的应用，尤其在中考中占有很大比重。函数在初中阶段包括一次函数，反比例函数和二次函数，初中数学函数应用题一般包含两个过程：建立函数关系、利用函数关系解决实际问题。
一、一次函数应用题解法：
一次函数应用题语言叙述较多，数据量较大，经常给同学们的审题、解题带来很多不便，造成的解题失误也较多。这里向同学们介绍四种处理这类问题的方法，供同学们参考。
1．直译法。
即将题中的关键语句“译”成代数式，然后找出函数关系、列出一次函数解析式，从而解决问题的方法。
例1. 东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。该商场为**制定了甲、乙两种优惠办法。
甲：买1支毛笔就赠送1本书法练习本乙：按购买金额打9折付款。
某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种书法练习本x()本。
（1）分别写出按甲、乙两种优惠办法实际付款金额y甲（元）、y乙（元）与x之间的函数关系式。
（2）比较购买不同数量的书法练习本时，按哪种优惠办法付款最省钱。
（3）如果商场允许即可以选择一种优惠办法购买，也可以用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和这种书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案。
2. 列表法。
列表法就是将题目中的各个量列成一个**，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法。
例2. 某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产a、b两种产品，共50件。已知：
生产一件a种产品需用甲种原料9kg、乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件b种产品需用甲种原料4kg、乙种原料10kg，可获利润1200元。
（1）若安排a、b两种产品的生产，共有哪几种方案？请你设计出来。
（2）设生产a、b两种产品获得的总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案可以获得最大总利润。最大的总利润是多少？
3. 图示法。
即用图形来表示题中的数量关系，从而观察出函数关系的解题方法。此法对于某些一次函数问题非常有效，解题过程直观明了。
例3. 某市的c县和d县上个月发生水灾，急需救灾物资10t和8t。该市的a县和b县伸出援助之手，分别募集到救灾物资12t和6t，全部赠给c县和d县。
已知a、b两县运资到c、d两县的每吨物资的运费如下表所示：
（1）设b县运到c县的救灾物资为xt，求总运费w（元）关于x（t）的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案。
4. 实物图法。
即通过实物图示来找出题目中的函数关系的解题方法。
例4. 如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定）。注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面高度y与注水时间x之间的函数关系图象大致是（ ）
课后练习题：
1. 已知一次函数物图象经过a(-2,-3)，b(1,3)两点。
求这个一次函数的解析式。
试判断点p(-1,1)是否在这个一次函数的图象上。
求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积。
2.杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润扬”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：
买进每份0．2元，卖出每份0．3元；
一个月内（以30天计），有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；
一个月内，每天从报社卖进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸以每份0.1元退回给报纸：
1）填表：2）设每天从报社买进该种晚报x份（120≤x≤200）时，月利润为y元，试求出y于x的函数关系式，并求月利润的最大值．
3.将长为30cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为3 cm. 设x张白纸粘合后的总长度为y cm ，写出y与x的函数关系式，并求出当x＝20时y的值。
二、反比例函数应用题解法：
近年来的中考中，经常出现一些反比例函数应用题。解答它们，应先找出题目中已知或隐含的条件，获取有用的信息，确定反比例函数关系式，再构造方程或不等式将问题解决。
1．为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图9所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：
1）写出从药物释放开始，与之间的两个函数。
关系式及相应的自变量取值范围；
2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克。
以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？
2．如图，曲线c是函数在第一象限内的图象，抛物线是函数的图象．点（）在曲线c上，且都是整数．
1）求出所有的点；
2）在中任取两点作直线，求所有不同直线的条数；
3）从（2）的所有直线中任取一条直线，求所取直线与抛物线有公共点的概率．
3．在反比例函数的图像的每一条曲线上，都随的增大而减小．
1） 求的取值范围；
（2） 在曲线上取一点a，分别向轴、轴作垂线段，垂足分别为b、c，坐标原。
点为o，若四边形aboc面积为6，求的值．
4．水产公司有一种海产品共2 104千克，为寻求合适的销售**，进行了8天试销，试销情况如下：
观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y(千克)与销售**x(元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y(千克)与销售**x(元/千克)之间都满足这一关系．
1) 写出这个反比例函数的解析式，并补全**；
2) 在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售**定为150元/千克，并且每天都按这个**销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？
5.已知：如图，在平面直角坐标系中，直线ab分别与轴交于点b、a，与反比例函数的图象分别交于点c、d，轴于点e，．
1）求该反比例函数的解析式；
2）求直线ab的解析式．
6. 已知：如图，在平面直角坐标系o中，rt△ocd的一边oc在轴上，∠c=90°，点d在第一象限，oc=3，dc=4，反比例函数的图象经过od的中点a．
1）求该反比例函数的解析式；
2）若该反比例函数的图象与rt△ocd的另一边dc交于点b，求过a、b两点的直线的解析式．
7.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于。
两点．1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
2）求的面积．
三、二次函数的应用。
二次函数是初中数学的重点也是难点，在学习中应联系实际，循序渐进。教材中虽然降低了对二次函数的要求，但在学习时普遍感觉学习这部分知识比较困难，所以要学好二次函数应用题，分类还是很有必要的，它可以理清思路分门别类地进行学习。二次函数应用题从题设给定形式和解法上看，常见的有以下几类：
1.待定系数法型：
题设明确给出两个变量间是二次函数关系，和几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。解答的着急是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。如：
知道图象上三个点，或三个条件就可利用二次函数的基本方法求解。（例题略）
2.分析数量关系型：
题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。
如用列表法画二次函数的图象时先列一个表，当表中对自变量值以相等的间隔的值增加时，函数所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一个值不正确，这个不正确的值是。
3.数学建模型：
自主构建二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。这类问题建模要求高，有一定难度。
例：橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池**垂直安装一个柱子op，柱子顶端p处装上喷头，由p处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知op＝3米，喷出的水流的最高点a距水平面的高度是4米，离柱子op的距离为1米。
1）求这条抛物线的解析式；
2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
4. 最大利润问题。
已知**，数量，互为一次函数，利润则成了二次函数，要求最大值，最小值则就应用二次函数的最值问题。
例如：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。设每件涨价x 元（ 为非负整数），每星期的销量为y 件。
⑴求y 与 x的函数关系式及自变量 x的取值范围；⑵如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？
5. 以抛物线型为基础的问题。
桥梁、涵洞、 喷泉，路灯等问题，求最大半径高度等解此题时，应将已知条件转换为点的坐标，合理设出所求函数关系式，并求出函数关系式。
例：图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关函数系式是（ ）
a． b． c． d．
6. 动态问题。
题目给出一种形态，然后按某种规律进行运动，再在运动中找出不娈的内容，进行运算。
例：平行四边形abcd中，ab＝5，bc＝10，bc边上的高am=4，e为 bc边上的一个动点（不与b、c重合）．过e作直线ab的垂线，垂足为f． fe与dc的延长线相交于点g，连结de，df．
1） 求证：δbef ∽δceg。
2） 当点e**段bc上运动时，△bef和△ceg的周长之间有什么关系？并说明你的理由。
3）设be＝x，△def的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
课后练习题：
1 .用铝合金型材做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为x m，窗户的透光面积为y m2，y与x的函数图象如图2所示。
观察图象，当x为何值时，窗户透光面积最大？
当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？
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