第三章习题一。
1．下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的条件？若满足，求出定理中的值。
解：1）显然在上连续，而。
所以在区间内可导，又，
故在上满足罗尔定理的条件。
令，解得；
2）显然在上连续，而。
所以在区间内可导，又，故在上满足罗尔定理的条件。
令，解得；3）显然在上连续，而。
所以在区间内可导，又，故在上满足罗尔定理的条件。
令，解得；4）显然在上连续，而。
所以在区间内可导，又，故在上满足罗尔定理的条件。
令，解得。2．下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件？若满足，求出定理中的值。
解：1）显然在上连续，而。
所以在区间内可导，
故在上满足拉格朗日中值定理的条件。
又，，故，令，即，得，由于不合题意，故所求的为；
2）显然在上连续，而。
所以在区间内可导，
故在上满足拉格朗日中值定理的条件。
又，，故，令，即，得；
3）显然在上连续，而。
所以在区间内可导，
故在上满足拉格朗日中值定理的条件。
又，，故，令，即，得，由于不合题意，故所求的为；
4）显然在上连续，而。
所以在区间内可导，
故在上满足拉格朗日中值定理的条件。
又，，故，令，即，利用一元二次方程的求根公式，得。
即，。3．证明：。
证：设，因为在（－∞内可导且有。
所以在（－∞内为常数．即。
令=0，得故，因此。
4．证明不等式：
12）当时，；
3）当时，。
证：1）设，，显然，在上满足拉格朗日中值定理的条件。由拉格朗日中值定理得。
而，，故（*）可写为。
但，因而，即。
证毕。2）设，，显然，在上满足拉格朗日中值定理的条件。由拉格朗日中值定理得。
而，故（*）可写为。
在上式中，由于，故为正；又，故为正，故有，即。
证毕；3）设．
当时，由微分中值定理，得。
由0＜，得。故。即。
而当时，有。
总之当≤时，有。
≤，证毕。第三章习题二。
1．用罗必达法则求下列极限：
解：9）由于，但，故。
10）由于，但。
故。2．验证下列极限是否存在，能否用洛必达法则求出？
解：（1）由于当时，为无穷小，而为有界函数，故。
3.求下列方程所确定的隐函数的导数：
解：（1）对原方程两端同时求导：
由复合函数求导法则可知，将上两式同时代入（*）式，得。
即，移项，，即，因此，所求隐函数的导数为。
2）对原方程两边同时求导：
利用求导法则得：
即，进而得。
即，由此便得所求隐函数的导数为。
3）对原方程两边同时求导：，即，进而得：，整理：，由此便得所求隐函数的导数为。
4）对原方程两边同时求导：，即，进而得，整理：，由此便得所求隐函数的导数为。
5）对原方程两边同时求导：，即 ，进而得：，亦即：
化简： 即：，或，整理：，由此便得所求隐函数的导数为。
4.用对数求导法则求下列函数的导数：
解：（1）将函数两端取对数：，即。
对上式两端求导：，即。
进而得。因此有。
即。但，故所求的导数为。
2）将函数两端取对数：，由对数的性质得。
进而有。等式两边同乘以30：
对上式两端求导：得。即。
由此得：即。
但，故所求的导数为。
即。3）将函数两端取对数：，由对数的性质得：
进而有。即。
对上式两端求导：，即。
进而有。即，但，因此所求的导数为。
即。5．求下列函数的二阶导数：
解：1）由于，故。
2）由于，故；
3）由于。故。
4）由于。故；
5）由于。故。
6）由于，故。
6.设，求。
解：由于，因而，进而有，故。
第三章习题三。
1．求下列函数的单调区间：
解：1）函数的定义域为。
由于，令，得驻点，。
列表分析：所以函数的单增区间是(0，2)，单减区间是(–∞0) 与(2
2）函数的定义域为。
由于，令，得驻点。
由于当时，；当时，所以函数的单增区间是，单减区间是；
3）函数的定义域为。
由于，令，得驻点，，令，得不可导点。
列表分析：所以函数的单增区间是(0，1)与(1，2)，单减区间是(–∞0) 与(2
4）函数的定义域为。
由于，令，得驻点，。
列表分析：所以函数的单减区间是(–2，0)与(0，2)，单增区间是(–∞2) 与(2，+∞
2．求下列函数的极值。
解：1）函数的定义域为。
由于， 令，得驻点，
而当时，；当时，又当时，有，故函数在时有极小值；
2）函数的定义域为。
由于，令，得不可导点，而当时，；当时，即函数在定义域内单调递减，因此函数无极值；
3）函数的定义域为。
由于，令，得驻点，。
又当时，，当时，列表分析：
故函数有极小值，极大值。
4）函数的定义域为。
由于，令，得驻点，。
又当时，，当时，列表分析：
故函数有极大值，极小值；
5）函数的定义域为。
由于，令，得驻点，。
又当时，，当时，列表分析：
故函数有极大值，极小值。
3.利用极值存在的第二充分条件求极值。
解：1）函数的定义域为。
由于， 令，得驻点，。
而，故函数有极大值，极小值；
2）函数的定义域为。
由于，令，得驻点。
而，故函数有极小值；
函数的定义域为。
由于，令，得驻点，
而，故函数有极小值。
4.证明下列不等式：
证：1）令，有，即在内单调递增，从而若，则，亦即，进而得，证毕。
2）令，有，由于，故，即在内单调递增，从而若，则，亦即，进而得，证毕。
第三章习题四。
1．求下列函数在给定区间上的最大值和最小值。
解：1）函数的定义域为。
由于，令，得驻点，又，故函数在给定区间上的最大值为；
最小值为。2）函数的定义域为。
由于，令，得驻点，又，故函数在给定区间上的最大值为；
最小值为。3）函数的定义域为。
由于，令，得驻点，又，故函数在给定区间上的最大值为；
最小值为。4）函数的定义域为。
由于，令，得驻点；令，得不可导点，又，故函数在给定区间上的最大值为；
最小值为。2．函数在何处取得最小值？最小值为多少？
解：函数的定义域为。
由于，令，得驻点，又当时，；时，故函数在处有极小值。
考虑到函数在开区间仅有唯一的极小值，因而这个极小值也是最小值。
因此函数在内当时有最小值。
3.做一个容积为256升的方底无盖水槽，问怎样设计最省材料？
解：设正方形材料的边长为分米，水槽的高为分米，则有。
故，即。此时有用的材料总面积为，变形：
亦即。求得。
令，得唯一驻点为，由题意知，函数在必有最大值。
但，即。因此，最省材料的设计方案是正方形材料的边长为16分米，水槽的高为4分米。
4.要造一个容积为v的圆柱形密闭容器，求底面半径和高分别等于多少时，能使表面积最小？
第3章答案
第3章。习题3.1一 1.1 2.在内不可导 3.4.3，二 提示 令，则，则常数，再取。三 略 四 1.满足，2.满足，3.满足，4.满足，五 略 六 1.2.3.习题3.2一 1.2.3.4.5.大 6.7.8.9.二 1.c 2.d 3.a。三 1.在 内单调增加，在内单调减少 2.在内单调增...
第3章答案
答案。3.1 写出如图题3.1所示电路对应的真值表。图题3.1 电路。解 a 图a中标注x y z w，如下图 则 x ab，y z w 则。l c c ab c ab c b ab c b c b 得图 a 的真值表如下 b 图b中，得真值表如下 3.2 组合逻辑电路及输入波形 a b 如图题3....
第3章答案
第3章参 题1 解 1 20 40 60db 2 ro 4 3 1 3 1 k 3 不可以。题2 解 1 v1管组成共射 ce 组态，v2管组成共集 cc 组态。2 整个放大电路的微变等效电路如图所示。3 第一级的电压放大倍数为 ri2是第二级放大电路的输入电阻，ri2 rbe2 1 2 r4 rl...