第三章习题一。
1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的条件?若满足,求出定理中的值。
解:1)显然在上连续,而。
所以在区间内可导,又,
故在上满足罗尔定理的条件。
令,解得;
2)显然在上连续,而。
所以在区间内可导,又,故在上满足罗尔定理的条件。
令,解得;3)显然在上连续,而。
所以在区间内可导,又,故在上满足罗尔定理的条件。
令,解得;4)显然在上连续,而。
所以在区间内可导,又,故在上满足罗尔定理的条件。
令,解得。2.下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件?若满足,求出定理中的值。
解:1)显然在上连续,而。
所以在区间内可导,
故在上满足拉格朗日中值定理的条件。
又,,故,令,即,得,由于不合题意,故所求的为;
2)显然在上连续,而。
所以在区间内可导,
故在上满足拉格朗日中值定理的条件。
又,,故,令,即,得;
3)显然在上连续,而。
所以在区间内可导,
故在上满足拉格朗日中值定理的条件。
又,,故,令,即,得,由于不合题意,故所求的为;
4)显然在上连续,而。
所以在区间内可导,
故在上满足拉格朗日中值定理的条件。
又,,故,令,即,利用一元二次方程的求根公式,得。
即,。3.证明:。
证:设,因为在(-∞内可导且有。
所以在(-∞内为常数.即。
令=0,得故,因此。
4.证明不等式:
12)当时,;
3)当时,。
证:1)设,,显然,在上满足拉格朗日中值定理的条件。由拉格朗日中值定理得。
而,,故(*)可写为。
但,因而,即。
证毕。2)设,,显然,在上满足拉格朗日中值定理的条件。由拉格朗日中值定理得。
而,故(*)可写为。
在上式中,由于,故为正;又,故为正,故有,即。
证毕;3)设.
当时,由微分中值定理,得。
由0<,得。故。即。
而当时,有。
总之当≤时,有。
≤,证毕。第三章习题二。
1.用罗必达法则求下列极限:
解:9)由于,但,故。
10)由于,但。
故。2.验证下列极限是否存在,能否用洛必达法则求出?
解:(1)由于当时,为无穷小,而为有界函数,故。
3.求下列方程所确定的隐函数的导数:
解:(1)对原方程两端同时求导:
由复合函数求导法则可知,将上两式同时代入(*)式,得。
即,移项,,即,因此,所求隐函数的导数为。
2)对原方程两边同时求导:
利用求导法则得:
即,进而得。
即,由此便得所求隐函数的导数为。
3)对原方程两边同时求导:,即,进而得:,整理:,由此便得所求隐函数的导数为。
4)对原方程两边同时求导:,即,进而得,整理:,由此便得所求隐函数的导数为。
5)对原方程两边同时求导:,即 ,进而得:,亦即:
化简: 即:,或,整理:,由此便得所求隐函数的导数为。
4.用对数求导法则求下列函数的导数:
解:(1)将函数两端取对数:,即。
对上式两端求导:,即。
进而得。因此有。
即。但,故所求的导数为。
2)将函数两端取对数:,由对数的性质得。
进而有。等式两边同乘以30:
对上式两端求导:得。即。
由此得:即。
但,故所求的导数为。
即。3)将函数两端取对数:,由对数的性质得:
进而有。即。
对上式两端求导:,即。
进而有。即,但,因此所求的导数为。
即。5.求下列函数的二阶导数:
解:1)由于,故。
2)由于,故;
3)由于。故。
4)由于。故;
5)由于。故。
6)由于,故。
6.设,求。
解:由于,因而,进而有,故。
第三章习题三。
1.求下列函数的单调区间:
解:1)函数的定义域为。
由于,令,得驻点,。
列表分析:所以函数的单增区间是(0,2),单减区间是(–∞0) 与(2
2)函数的定义域为。
由于,令,得驻点。
由于当时,;当时,所以函数的单增区间是,单减区间是;
3)函数的定义域为。
由于,令,得驻点,,令,得不可导点。
列表分析:所以函数的单增区间是(0,1)与(1,2),单减区间是(–∞0) 与(2
4)函数的定义域为。
由于,令,得驻点,。
列表分析:所以函数的单减区间是(–2,0)与(0,2),单增区间是(–∞2) 与(2,+∞
2.求下列函数的极值。
解:1)函数的定义域为。
由于, 令,得驻点,
而当时,;当时,又当时,有,故函数在时有极小值;
2)函数的定义域为。
由于,令,得不可导点,而当时,;当时,即函数在定义域内单调递减,因此函数无极值;
3)函数的定义域为。
由于,令,得驻点,。
又当时,,当时,列表分析:
故函数有极小值,极大值。
4)函数的定义域为。
由于,令,得驻点,。
又当时,,当时,列表分析:
故函数有极大值,极小值;
5)函数的定义域为。
由于,令,得驻点,。
又当时,,当时,列表分析:
故函数有极大值,极小值。
3.利用极值存在的第二充分条件求极值。
解:1)函数的定义域为。
由于, 令,得驻点,。
而,故函数有极大值,极小值;
2)函数的定义域为。
由于,令,得驻点。
而,故函数有极小值;
函数的定义域为。
由于,令,得驻点,
而,故函数有极小值。
4.证明下列不等式:
证:1)令,有,即在内单调递增,从而若,则,亦即,进而得,证毕。
2)令,有,由于,故,即在内单调递增,从而若,则,亦即,进而得,证毕。
第三章习题四。
1.求下列函数在给定区间上的最大值和最小值。
解:1)函数的定义域为。
由于,令,得驻点,又,故函数在给定区间上的最大值为;
最小值为。2)函数的定义域为。
由于,令,得驻点,又,故函数在给定区间上的最大值为;
最小值为。3)函数的定义域为。
由于,令,得驻点,又,故函数在给定区间上的最大值为;
最小值为。4)函数的定义域为。
由于,令,得驻点;令,得不可导点,又,故函数在给定区间上的最大值为;
最小值为。2.函数在何处取得最小值?最小值为多少?
解:函数的定义域为。
由于,令,得驻点,又当时,;时,故函数在处有极小值。
考虑到函数在开区间仅有唯一的极小值,因而这个极小值也是最小值。
因此函数在内当时有最小值。
3.做一个容积为256升的方底无盖水槽,问怎样设计最省材料?
解:设正方形材料的边长为分米,水槽的高为分米,则有。
故,即。此时有用的材料总面积为,变形:
亦即。求得。
令,得唯一驻点为,由题意知,函数在必有最大值。
但,即。因此,最省材料的设计方案是正方形材料的边长为16分米,水槽的高为4分米。
4.要造一个容积为v的圆柱形密闭容器,求底面半径和高分别等于多少时,能使表面积最小?
第3章答案
第3章。习题3.1一 1.1 2.在内不可导 3.4.3,二 提示 令,则,则常数,再取。三 略 四 1.满足,2.满足,3.满足,4.满足,五 略 六 1.2.3.习题3.2一 1.2.3.4.5.大 6.7.8.9.二 1.c 2.d 3.a。三 1.在 内单调增加,在内单调减少 2.在内单调增...
第3章答案
答案。3.1 写出如图题3.1所示电路对应的真值表。图题3.1 电路。解 a 图a中标注x y z w,如下图 则 x ab,y z w 则。l c c ab c ab c b ab c b c b 得图 a 的真值表如下 b 图b中,得真值表如下 3.2 组合逻辑电路及输入波形 a b 如图题3....
第3章答案
第3章参 题1 解 1 20 40 60db 2 ro 4 3 1 3 1 k 3 不可以。题2 解 1 v1管组成共射 ce 组态,v2管组成共集 cc 组态。2 整个放大电路的微变等效电路如图所示。3 第一级的电压放大倍数为 ri2是第二级放大电路的输入电阻,ri2 rbe2 1 2 r4 rl...