经济数学第3章所有答案

发布 2023-05-21 06:12:28 阅读 7819

第三章习题一。

1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的条件?若满足,求出定理中的值。

解:1)显然在上连续,而。

所以在区间内可导,又,

故在上满足罗尔定理的条件。

令,解得;

2)显然在上连续,而。

所以在区间内可导,又,故在上满足罗尔定理的条件。

令,解得;3)显然在上连续,而。

所以在区间内可导,又,故在上满足罗尔定理的条件。

令,解得;4)显然在上连续,而。

所以在区间内可导,又,故在上满足罗尔定理的条件。

令,解得。2.下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理的条件?若满足,求出定理中的值。

解:1)显然在上连续,而。

所以在区间内可导,

故在上满足拉格朗日中值定理的条件。

又,,故,令,即,得,由于不合题意,故所求的为;

2)显然在上连续,而。

所以在区间内可导,

故在上满足拉格朗日中值定理的条件。

又,,故,令,即,得;

3)显然在上连续,而。

所以在区间内可导,

故在上满足拉格朗日中值定理的条件。

又,,故,令,即,得,由于不合题意,故所求的为;

4)显然在上连续,而。

所以在区间内可导,

故在上满足拉格朗日中值定理的条件。

又,,故,令,即,利用一元二次方程的求根公式,得。

即,。3.证明:。

证:设,因为在(-∞内可导且有。

所以在(-∞内为常数.即。

令=0,得故,因此。

4.证明不等式:

12)当时,;

3)当时,。

证:1)设,,显然,在上满足拉格朗日中值定理的条件。由拉格朗日中值定理得。

而,,故(*)可写为。

但,因而,即。

证毕。2)设,,显然,在上满足拉格朗日中值定理的条件。由拉格朗日中值定理得。

而,故(*)可写为。

在上式中,由于,故为正;又,故为正,故有,即。

证毕;3)设.

当时,由微分中值定理,得。

由0<,得。故。即。

而当时,有。

总之当≤时,有。

≤,证毕。第三章习题二。

1.用罗必达法则求下列极限:

解:9)由于,但,故。

10)由于,但。

故。2.验证下列极限是否存在,能否用洛必达法则求出?

解:(1)由于当时,为无穷小,而为有界函数,故。

3.求下列方程所确定的隐函数的导数:

解:(1)对原方程两端同时求导:

由复合函数求导法则可知,将上两式同时代入(*)式,得。

即,移项,,即,因此,所求隐函数的导数为。

2)对原方程两边同时求导:

利用求导法则得:

即,进而得。

即,由此便得所求隐函数的导数为。

3)对原方程两边同时求导:,即,进而得:,整理:,由此便得所求隐函数的导数为。

4)对原方程两边同时求导:,即,进而得,整理:,由此便得所求隐函数的导数为。

5)对原方程两边同时求导:,即 ,进而得:,亦即:

化简: 即:,或,整理:,由此便得所求隐函数的导数为。

4.用对数求导法则求下列函数的导数:

解:(1)将函数两端取对数:,即。

对上式两端求导:,即。

进而得。因此有。

即。但,故所求的导数为。

2)将函数两端取对数:,由对数的性质得。

进而有。等式两边同乘以30:

对上式两端求导:得。即。

由此得:即。

但,故所求的导数为。

即。3)将函数两端取对数:,由对数的性质得:

进而有。即。

对上式两端求导:,即。

进而有。即,但,因此所求的导数为。

即。5.求下列函数的二阶导数:

解:1)由于,故。

2)由于,故;

3)由于。故。

4)由于。故;

5)由于。故。

6)由于,故。

6.设,求。

解:由于,因而,进而有,故。

第三章习题三。

1.求下列函数的单调区间:

解:1)函数的定义域为。

由于,令,得驻点,。

列表分析:所以函数的单增区间是(0,2),单减区间是(–∞0) 与(2

2)函数的定义域为。

由于,令,得驻点。

由于当时,;当时,所以函数的单增区间是,单减区间是;

3)函数的定义域为。

由于,令,得驻点,,令,得不可导点。

列表分析:所以函数的单增区间是(0,1)与(1,2),单减区间是(–∞0) 与(2

4)函数的定义域为。

由于,令,得驻点,。

列表分析:所以函数的单减区间是(–2,0)与(0,2),单增区间是(–∞2) 与(2,+∞

2.求下列函数的极值。

解:1)函数的定义域为。

由于, 令,得驻点,

而当时,;当时,又当时,有,故函数在时有极小值;

2)函数的定义域为。

由于,令,得不可导点,而当时,;当时,即函数在定义域内单调递减,因此函数无极值;

3)函数的定义域为。

由于,令,得驻点,。

又当时,,当时,列表分析:

故函数有极小值,极大值。

4)函数的定义域为。

由于,令,得驻点,。

又当时,,当时,列表分析:

故函数有极大值,极小值;

5)函数的定义域为。

由于,令,得驻点,。

又当时,,当时,列表分析:

故函数有极大值,极小值。

3.利用极值存在的第二充分条件求极值。

解:1)函数的定义域为。

由于, 令,得驻点,。

而,故函数有极大值,极小值;

2)函数的定义域为。

由于,令,得驻点。

而,故函数有极小值;

函数的定义域为。

由于,令,得驻点,

而,故函数有极小值。

4.证明下列不等式:

证:1)令,有,即在内单调递增,从而若,则,亦即,进而得,证毕。

2)令,有,由于,故,即在内单调递增,从而若,则,亦即,进而得,证毕。

第三章习题四。

1.求下列函数在给定区间上的最大值和最小值。

解:1)函数的定义域为。

由于,令,得驻点,又,故函数在给定区间上的最大值为;

最小值为。2)函数的定义域为。

由于,令,得驻点,又,故函数在给定区间上的最大值为;

最小值为。3)函数的定义域为。

由于,令,得驻点,又,故函数在给定区间上的最大值为;

最小值为。4)函数的定义域为。

由于,令,得驻点;令,得不可导点,又,故函数在给定区间上的最大值为;

最小值为。2.函数在何处取得最小值?最小值为多少?

解:函数的定义域为。

由于,令,得驻点,又当时,;时,故函数在处有极小值。

考虑到函数在开区间仅有唯一的极小值,因而这个极小值也是最小值。

因此函数在内当时有最小值。

3.做一个容积为256升的方底无盖水槽,问怎样设计最省材料?

解:设正方形材料的边长为分米,水槽的高为分米,则有。

故,即。此时有用的材料总面积为,变形:

亦即。求得。

令,得唯一驻点为,由题意知,函数在必有最大值。

但,即。因此,最省材料的设计方案是正方形材料的边长为16分米,水槽的高为4分米。

4.要造一个容积为v的圆柱形密闭容器,求底面半径和高分别等于多少时,能使表面积最小?

第3章答案

第3章。习题3.1一 1.1 2.在内不可导 3.4.3,二 提示 令,则,则常数,再取。三 略 四 1.满足,2.满足,3.满足,4.满足,五 略 六 1.2.3.习题3.2一 1.2.3.4.5.大 6.7.8.9.二 1.c 2.d 3.a。三 1.在 内单调增加,在内单调减少 2.在内单调增...

第3章答案

答案。3.1 写出如图题3.1所示电路对应的真值表。图题3.1 电路。解 a 图a中标注x y z w,如下图 则 x ab,y z w 则。l c c ab c ab c b ab c b c b 得图 a 的真值表如下 b 图b中,得真值表如下 3.2 组合逻辑电路及输入波形 a b 如图题3....

第3章答案

第3章参 题1 解 1 20 40 60db 2 ro 4 3 1 3 1 k 3 不可以。题2 解 1 v1管组成共射 ce 组态,v2管组成共集 cc 组态。2 整个放大电路的微变等效电路如图所示。3 第一级的电压放大倍数为 ri2是第二级放大电路的输入电阻,ri2 rbe2 1 2 r4 rl...