2014高考数学教与练特训秘籍3
二。高考题热身。
1.（北京卷）已知是上的减函数，那么的取值范围是。
a） （bcd）
2.（福建卷）已知f(x)是周期为2的奇函数，当0（a） （b） （c） （d）
3．（广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是。
a. b.
c. d.
4．（辽宁卷）设f(x)是r上的任意函数，则下列叙述正确的是。
a) f(x) f(-x)是奇函数 (b) f(x) |f(-x)|是奇函数
c) f(x)- f(-x)是偶函数 (d) f(x)+ f(-x)是偶函数。
5．（全国ii）函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为。
a)f(x)＝(x＞0) (b)f(x)＝log2(－x)(x＜0)
c)f(x)＝－log2x(x＞0) (d)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
6．（全国ii）如果函数y=f(x)的图像与函数的图像关于坐标原点对称，则y=f(x)的表达式为。
a）y=2x-3 （b）y=2x+3 （c）y=-2x+3 （d）y=-2x-3
7.（山东卷）已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则，f(6)的值为。
a)－1b) 0c) 1d)2
8．(天津文10) 设f（x）是定义在r上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是。
a)； b)；
c)； d)
9.设f(x),g(x)分别是定义在r上的奇函数和偶函数，当时，且g(-3)=0则不等式f(x)g(x)<0的解集是 （
a． b． c． d．
10.直线沿轴正方向平移个单位，再沿轴负方向平移－1个单位得直线，若直线与重合，则直线的斜率为（ ）
a) (bc) (d)
11．设f(x)是定义在r上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线对称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 0 。
12．(天津文9)若函数在区间内恒有，则的单调递增区间为。
三．典型例题。
例1．（05浙江文20）已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．
(ⅰ)求函数g(x)的解析式；(ⅱ解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；
(ⅲ)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围。
解：(ⅰ设函数y=f(x)的图象上任一点q(xqλ,yq关于原点的对称点(x,y),则即∵点qxq,yq)在函数f(x)的图象上，∴-y=-x2+2x.,故g(x)=-x2+2x
ⅱ)由g(x)≥f(x)－|x－1|可得2x2-|x-1|≤0,当x≥1时，2x2-x+1≤0,此时不等式无解，当x<1时，2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤,因此，原不等式的解集为[-1,]
ⅲ)h(x)=-1+λ)x2+2(1-λ)x+1
1 当λ=-1时，h(x)=4x+1在[-1,1]上是增函数，∴λ1
2 当λ≠-1时，对称轴的方程为x=.
i) 当λ<-1时，≤-1,解得λ<-1.
ii) 当λ>-1时，≥-1,解得-1<λ≤0.
综上，λ≤0
例2.（江苏卷）已知函数（ⅰ）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合；
ⅱ）求函数y＝f (x)在区间[1,2]上的最小值。
解：（1）当a=2时，，则方程f(x)=x即为
解方程得：
2）（i）当a>0时， ，作出其草图见右， 易知f (x)有两个极值点借助于图像可知，当时，函数f (x)在区间[1,2]上为增函数，此时。
当时，显然此时函数的最小值为。
当时，，此时f（x）在区间为增函数，在区间上为减函数，，又可得 ∴
则当时，，此时。
当时，，此时。
当时，,此时f（x）在区间[1,2]为增函数，故。
ii)当时，，此时f（x）在区间[1,2]也为增函数，故。
iii）当时，其草图见右显然函数f（x）在区间[1,2]为增函数，故。
例3.（湖南卷）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0.
（ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
（ⅱ）设函数f(x)的图象c1与函数g(x)图象c2交于点p、q，过线段pq的中点作x轴的垂线分别交c1，c2于点m、n，证明c1在点m处的切线与c2在点n处的切线不平行。
解：（i），则。
因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解。
又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解。
当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根。此时，－1 综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞
ii）证法一设点p、q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），0 则点m、n的横坐标为。
c1在点m处的切线斜率为。
c2在点n处的切线斜率为。
假设c1在点m处的切线与c2在点n处的切线平行，则k1=k2.
即，则。所以设则①
令则。因为时，，所以在）上单调递增。 故。
则。 这与①矛盾，假设不成立。 故c1在点m处的切线与c2在点n处的切线不平行。
证法二：同证法一得因为，所以。
令，得 ②令。
因为，所以时，
故在[1，+上单调递增。从而，即
于是在[1，+上单调递增。
故即这与②矛盾，假设不成立。
故c1在点m处的切线与c2在点n处的切线不平行。
例4. 已知函数y＝f (x)是定义在上的周期函数，周期t=5，函数是奇函数又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值。
证明：；②求的解析式；③求在[4,9]上的解析式。
解：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴，又∵是奇函数，∴，
当时，由题意可设，由得，∴，是奇函数，∴，又知y＝f (x)在[0,1]上是一次函数，∴可设，而，，∴当时，f (x)=-3x，从而当时，，故时，f (x)= 3x，.
当时，有，∴0.
当时，，∴例5：已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0证明： (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.
∴f(x)=－f(－x). f(x)为奇函数。
2)先证f(x)在(0，1)上单调递减。 令0∵00,1－x1x2>0，∴ 0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1,∴0<<1,由题意知f()<0，即 f(x2)例6．（湖南卷）设，点p（t，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点p处有相同的切线。（ⅰ用t表示a，b，c；
ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围。
解：（i）因为函数f (x),g(x)的图象都过点(（t，0），所以，即。因为所以。
又因为f (x),g(x)在点（t，0）处有相同的切线，所以。
而。将代入上式得因此故，，
ii）解法一。
当时，函数y= f (x)-g(x)单调递减。
由，若；若。
由题意，函数y= f (x)-g(x)在（－1，3）上单调递减，则所以。
又当时，函数y= f (x)-g(x)在（－1，3）上单调递减。
所以的取值范围为。
解法二： 因为函数y= f (x)-g(x)在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）上的抛物线，所以即所以的取值范围为。
四．课后练习。
1.. 北京卷）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意，恒成立”的只有。
ab） （cd）
解： |11 ||x1－x2|故选a
2．（全国卷i）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则。
a． b．
c． d．
解：函数的图象与函数y=f(x)的图象关于直线对称，所以f(x)是的反函数，即=，∴选d.
3.（全国卷i）已知函数，若为奇函数，则___
解析：函数若为奇函数，则，即，a=.
4．（福建卷理12）f(x)是定义在r上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 a．2； b．3； c．4； d．5 （ d ）
5．(天津理10)若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是(a) (b) (cdb ）
6．（山东卷理4）下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ d ）
a）（b）
c）（d）7．[2023年全国高考(甘肃贵州青海宁夏新疆)理科数学第12题]
设函数为奇函数，则（ ）
a．0 b．1 c． d．5
8．已知f(x)是r上的偶函数，对都有f(x＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2005)=(
2019高考数学易错题特训秘籍
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