一、 什么是插值？什么是拟合？插值有哪些常用方法？拟合有哪些常用方法？请举例说明插值和拟合的差别？
二、 微分方程中有哪些常用的数学建模方法？请举例说明某种建模方法。
三、 常用的概率统计模型有哪些？请举例说明某一类型的模型。
四、 常用的优化建模方法有哪些？请举例说明两种类型的模型。
五、 请简要叙述目前你所掌握的建模方法。
一。答案：1.
插值的定义：是在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
插值：用来填充图像变换时像素之间的空隙。
2.插值的常用方法（1）多项式插值这是最常见的一种函数插值。在一般插值问题中，若选取φ为n次多项式类，由插值条件可以唯一确定一个n次插值多项式满足上述条件。
从几何上看可以理解为：已知平面上n＋1个不同点，要寻找一条n次多项式曲线通过这些点。插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个是牛顿插值多项式。
（2）埃尔米特插值对于函数f（x），常常不仅知道它在一些点的函数值，而且还知道它在这些点的导数值。这时的插值函数p（x），自然不仅要求在这些点等于f(x）的函数值，而且要求p（x）的导数在这些点也等于f（x)的导数值。这就是埃尔米特插值问题，也称带导数的插值问题。
从几何上看，这种插值要寻求的多项式曲线不仅要通过平面上的已知点组，而且在这些点（或者其中一部分）与原曲线“密切”，即它们有相同的斜率。可见埃尔米特插值多项式比起一般多项式插值有较高的光滑逼近要求。 （3）分段插值与样条插值为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。
为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法——三次样条插值成为比较理想的工具。见样条函数。 （4）三角函数插值当被插函数是以2π为周期的函数时，通常用n阶三角多项式作为插值函数，并通过高斯三角插值表出。
3.拟合的定义：所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,n)，使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。
如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。
4.拟合的常用方法。
（1）线性拟合（线性模型）
假设拟合函数是线性函数，即拟合函数的图形是一条平面上的直线。而表中的数据点未能精确地落在一条直线上的原因是实验数据的误差。
2）二次函数拟合（二次多项式模型）
假设拟合函数不是线性函数，而是一个二次多项式函数。即拟合函数的图形是一条平面上的抛物线，而表中的数据点未能精确地落在这条抛物线上的原因是实验数据的误差。则下一步是确定函数。
3）数据的n次多项式拟合。
已知函数在个离散点处的函数值，假设拟合函数是n次多项式，则需要用所给数据来确定下面的函数。
正交多项式系可以认为是幂函数系：1，x，x 2，……x n通过正交变换而得到的一组函数。正交多项式系构造的方法如下：
q0(x)=1，q0(x) =x – a1 ，(a1 = qk(x) =x - ak) qk -1(x) -bk qk-2(x) ，k = 2，3，……n)
4）用正交多项式系组成拟合函数的多项式拟合。
5）指数函数的数据拟合。
5.差之和拟合的区别： 插值是拟合的一种方法吧。
曲线拟合就是要找出一种方法使得得到的**曲线最大程度的接近原来的曲线，甚至重合。这个拟合的好坏程度可以用一个指标来判断：j=∑(y(xi)-yi)^2
二。答案：1.数学建模应用的微分方程主要有以下模式：
人口的增长指数模、型阻滞增长模型、新产品的推销与广告、广告模型、经济增长模型、资金与劳动力的最佳分配、劳动生产率增长的条件、常微分方程的平衡点及其稳定性、一阶方程的平衡点及稳定性、常系数线性齐次方程组的平衡点稳定性、二阶(平面)方程的平衡点及稳定性、平衡点的分类及稳定性判据、非线性方程的平衡点稳定性模型2.以人口人口的增长类为例：
人口的增长是人们普遍关注的问题。报刊上经常看到人口增长的预报，说若干年后全世界(或某地区)人口将达到多少多少亿。你可能注意到不同的报刊对同一时间人口的预报在数字上有较大的差别，这显然是使用了不同的人口模型计算的结果。
那么人口是如何预报的呢？先看一种简单的计算方法。
一个简单的模型是将人口看作银行里存的钱，因为有一定的本金和按利率支付的利息，银行里的钱会增加。人口的增长也是因为有人口的基数和一定的增长率(人口出生率减去死亡率)，设某一年的人口为，年增长率为，可以认为今后年内的人口数为。
这里实际暗含着年增长率不变的假设。
比如，2023年7月1日的人口普查显示我国的人口总数为11.6亿，过去八年内平均年增长率约为14.8，那么可以估算2023年的人口为。
亿。2023年我国人口已达13亿，公式(2.1)的**比较准确。
但人口学家不满足于此，因为公式(2.1)的基本前提是年增长率保持不变，这个条件在什么情况下才成立？如果不成立又该怎么办(如目前我国人口年增长率已控制在10以下)？
此外，公式(2.1)是否适用于其他国家和地区呢？
实际上，早在18世纪人们就开始进行人口预报工作了，历史上人口模型的发展过程可以回答上述问题。
三。答案： （a）聚类分析： 1)最短距离法。
2) 最长距离法。
3) 中间距离法（gp,gq合并为一类gr）
4) 重心法。
5）类平均法
6）可变类平均法。
其中 7）可变法。
其中。8）ward 法。
b）回归分析
举例一阶自回归模型
问题： 建立投资额模型，研究某地区实际投资额与国民生产总值 ( gnp ) 及物价指数 ( pi ) 的关系，根据对未来gnp及pi的估计，**未来投资额。
该地区连续20年的统计数据。
基本回归模型。
t ~年份， yt ~ 投资额，x1t~ gnp, x2t ~ 物价指数。 投资额与 gnp及物价指数间均有很强的线性关系。
0, 1, 2 ~回归系数。
t ~对t相互独立的零均值正态随机变量。
基本回归模型的结果与分析
模型优点。r2＝0.991，拟合度高。 剩余标准差s=12.7164
模型缺点。dw值较小，没有考虑时间序列数据的滞后性影响。
四。答案：常用的优化建模方法：线性规划，非线性规划，整数规划。
举例：1）线性规划。
某工厂生产i ii两种产品需要a、b两种原料，问怎样生产获利最大？
1） 决策变量：设分别生产i ii的数量。
2） 目标函数：获利最大。
3） 约束条件： 设备约束。
原料约束。基本约束。
则我们可以建立模型。
2）整数规划。
一汽车厂生产小、中、大三种类型的汽车，已知各类型每量车对钢材，劳动时间的需求，利润以及每月工厂钢材、劳动时间的现有量如表5所示。试制定月生产计划，使工厂的利润最大。
进一步讨论：由于各种条件的限制，如果生产某一类型的汽车，则至少要生产80量，那么最优的生产计划应作何改变。
表3 汽车厂的生产数据。
模型建立与求解。
设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为，工厂的月利润为，在题目所给出的参数均不随生产数量变化的假设下，可得线性规划模型：(x1,x2,x3均为整数)
用lindo求解时加入语句：gin3
五。答案：我所掌握的建模方法有：
1) 量纲分析法：根据已知的物理量，利用量纲齐次原则，对于不熟悉物理定理，规律的建模者可以简化问题。（可用matlab求解）
2) 最优化法：最重要的是把问题分析清楚，明确目标函数，约束条件，决策变量，可在设未知参数中利用二维甚至三维下标。（用lindo或lingo求解）
3) 微分方程法：利用题中变量的变化率或之间求导进而产升某种关系，可以简化问题的求解，注意利用微元法，如恶狼追兔问题。
4) 标记法：有些问题难以全面了解各个参数，可建立缩小后的模型，通过模型与实物之间的比例进行分析，如测人体内血液总量，池塘中鱼的总数。
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