天然肠衣搭配问题。
摘要。本文研究的是天然肠衣搭配问题，目的是在满足规格要求的条件下，选择使成品捆数最多的优化方案。共建立了3个模型。对题中给出的要求逐个考虑，并运用和软件编程求解。
模型1 在给定一批原料的情况下，装出的成品捆数越多方案越好。对各种不同规格的原料，根据每捆成品的总长度和根数建立整数规划模型，得出三种规格的最大捆数分别为14捆， 34捆，129捆。总数量为177捆。
模型2 根据要求2，在模型1捆数最大的基础上，得出各规格捆数最大时的不同搭配方案，选出最优方案（详见表27，30，47）。
模型3 针对要求3，允许总长度有的误差，各规格成品每捆的根数可以比标准少一根，明显条件放宽，可能会增加成品捆数。运用和软件求解得到三种规格的捆数增加了6捆，总捆数为183捆，具体搭配方案见表48。针对要求4，后一规格完成搭配后若材料有剩余，剩余材料可降级到前一规格使用，计算出三种规格的捆数增加3，最终最大捆数为186捆。
最后，选用合理的数据对模型进行模拟检验，把相应的数字输入流程，采用计算机搜索法，得出的方案时间不超过30分钟。
关键词：整数规划模型。
1 问题重述。
1.1 题目背景。
天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。
1.2 题目条件。
1 原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.
4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.
5米计算，其余的依此类推。表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。
表1 成品规格表。
2 为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。表2为某批次原料描述(见附录)。
1.3 题目要求。
1 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；
2 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；
3 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；
4 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；
5 为了食品保鲜，要求在30分钟内产生方案。
1.4 所求问题。
根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产，在满足上述五个要求的前提下选出最优方案。
2 模型假设及符号说明。
2.1 模型假设。
1 题中所给出的数据真实可靠。
2 不同档次的各种原料均匀。
3 选取数据全都是按标准的算。
2.2 符号说明。
：为题中给出3—25.9米各档次原料在各规格内被搭配时的根数。
：第种规格第次搭配时的总捆数。
：第种规格第种原料第次搭配时的总数量。
3 问题分析。
根据题中给出的条件，对5个要求分别进行分析。
3.1 结合要求1分析。
设各规格中不同档次的原料都可能同时被取出搭配成成品。首先每个档次的原料满足规格条件的约束，其次用软件计算出每种规格成品的最大捆数。再次，计算每种规格最大捆数之后的剩余料，用同样的方法计算剩余料的最大捆数，直到不能组成一捆成品为止，最后，计算三种规格成品的捆数总和。
3.2结合要求2的分析。
用要求1的结果，分别计算3种规格在最大捆数时不同搭配的最优方案。
3.3 要求3的分析。
如果每种规格都有剩余的原料，为提高原料的使用率，在每捆的总长度为89米的基础上允许有0.5米的误差，根据题中**给出的每种规格的捆法要求，搭配出合理的方案，然后在每种规格的原料还有剩余的情况下，再次考虑允许在标准捆法的根数上面减少1根，同样每捆的总长度也允许有0.5米得误差，从而选出捆数更多的方案。
3.4要求4的分析。
经过前面几个要求的筛选之后，某种规格的原料有可能会出现剩余，为了使原料能够被充分利用，这时我们可以考虑降低规格进行搭配，例如规格3的剩余的原来降级到规格2来进行搭配。
首先，将规格3剩余的材料降级与规格2的剩余原料按照规格2的要求搭配。
然后，再将剩余的原料降级与规格1剩余的原料按照规格1的要求搭配。
最后，将降级之后规格1、规格2所能搭配出的最大捆数与降级前搭配出的最大捆数相加，即可得出降级之后所能搭配的最大总捆数。
最后，结合前4个要求采用计算机搜索法可以得出在30分钟产生的方案。
4 模型建立与求解。
从题中所给出的条件及相关要求出发，再结合问题分析解决肠衣搭配问题需要建立三个模型。把3米—6.5米定为第一规格；7米—13.
5米定为第二规格；14米—25.9米定为第三规格。
本模型只考虑给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好。首先在不考虑余量的情况下建立不同规格的线性规划模型，得出不同规格成品的数量及不同原料的搭配方式。然后，计算出剩余的原料，按前面的思路再次建立线性规划模型，得出余料产生的捆数，并计算不同规格的总捆数。
最后，计算出三种规格成品的总捆数。
4.1 模型1的建立。
建立规格1的整数规划模型。
首先，根据题中给出的条件求出第一种规格成品数量在要求下结合约束条件，得出以下等式。
目标函数。原料长度的约束：
各原料被选用时数量的约束：
各原料数量的约束：
自然约束：最后，在满足上述的约束条件下，建立规划模型。
建立规格2的整数规划模型。
首先，根据题目给出的条件和要求找出目标函数为。
然后，找出约束条件。
原料长度的约束：
各原料被选用时数量的约束：
各原料总数量的约束：
自然约束：然后，在满足上述约束条件下建立规划模型。
建立规格3的整数规划模型。
首先，根据题目给出的条件和要求找出目标函数为。
然后，找出约束条件。
原料长度的约束：
各原料被选用时数量的约束：
各原料总数量的约束：
自然约束：然后，在满足上述约束条件下建立线性规划模型。
算法：用迭代思想将每次计算出的剩余量计为下一次计算的初始量，计算出在此规格下各原料的搭配情况。直到=0时终止计算，用软件求解。
首先，用（1）式求解第一规格成品的数量。（程序见附录b）
其中从题目条件得出的初始情况。
表2的初始情况。
第1次计算=11。即第一次搭配成品的最大捆数为11捆。各档原料的分配方案如下表所示：
表3 各原料的搭配及剩余情况。
第2次计算=3，即第二次搭配成品的最大捆数为3捆。各档原料的分配方案如下表所示：
表4 原料使用情况。
从表4中可以计算出各原料剩余根数=12<20，不满足约束条件。则停止搭配，此时可以判断=0，终止计算。
所以，得出第一种规格的总捆数为。
其次，同理求出第二种规格成品的总捆数。
从题中得出的初始值见表5
表5的初始值表。
第1次计算得出=22，，即第一次搭配成品的最大捆数为22捆，各原料的搭配及剩余情况见表6
表6第2次计算得出=9，即第二次搭配成品的最大捆数位9，各原料的搭配及剩余情况见表7
表7第3次计算得出=3，即第三次搭配成品的最大捆数位3捆，各原料的搭配及剩余情况见表8
表8根据计算得出第二种规格总捆数为。
然后算出第三种规格的总捆数。
从题中得出的初始值见表9
表9第1次计算得出=42，即第一次搭配成品的最大捆数为42 捆，各原料的搭配及剩余情况见表10
表10第2次计算得出=30，即第二次搭配成品最大捆数位30捆，各原料的搭配及剩余情况见表11
表11第3次计算得出，即第三次搭配成品最大捆数为26捆，各原料的搭配及剩余情况见表12
表12第4次计算得出=14，即第四次搭配成品最大捆数为14捆，各原料的搭配及剩余情况见表13
表13第5次计算得出=9，即第五次搭配成品最大捆数为9捆，各原料的搭配及剩余情况见表14
表14第6次计算得出=4，即第六次到诶成品自大捆数为4捆，各原料的搭配及剩余情况见表15表15
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