数学建模8 动态规划和目标规划

一、动态规划。

1. 动态规划是求解决策过程最优化的数学方法，主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题。但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。

2. 基本概念、基本方程：

1）阶段。

2）状态。

3）决策。

4）策略。

5）状态转移方程：

6）指标函数和最优值函数：

7）最优策略和最优轨线。

8）递归方程：

3．计算方法和逆序解法（此处较为抽象，理解较为困难，建议结合例子去看）

4．动态规划与静态规划的关系：一些静态规划只需要引入阶段变量、状态、决策等就可以用动态规划方法求解（详见书中例4）

5．若干典型问题的动态规划模型：

1）最短路线问题：

2）生产计划问题：状态定义为每阶段开始时的储存量xk ，决策为每个阶段的产量，记每个阶段的需求量（已知量）为dk ，则状态转移方程为。

3）资源分配问题：详见例5

状态转移方程：

最优值函数：

自有终端条件：

4）具体应用实例：详见例6、例7。

二、目标规划。

1．实际问题中，衡量方案优劣要考虑多个目标，有主要的，有主要的，也有次要的；有最大值的，也有最小值的；有定量的，也有定性的；有相互补充的，也有相互对立的，这时可用目标规划解决。其求解思路有加权系数法、优先等级法、有效解法等。

2．基本概念：

1）正负偏差变量：

2）绝对（刚性）约束和目标约束。

3）优先因子（优先等级）与权系数：凡要求第一位达到的目标赋予优先因子p1，次位赋予p2……以此类推。

4）目标规划的目标函数：

5）一般数学模型：

3．求解目标规划的解法：

1）序贯式算法（用lingo软件求解，有编程模板可以使用，下面以书中例3说明，具体还可以参考书中例6-例8）：

model:

sets:level/1..3/:p,z,goal;

variable/1..2/:x;

h_con_num/1..1/:b;

s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;

h_con(h_con_num,variable):a;

s_con(s_con_num,variable):c;

obj(level,s_con_num)/1 1,2 2,3 3,3 4/:wplus,wminus;

endsets

data:ctr=?;

goal=? 0;

b=12;g=1500 0 16 15;

a=2 2;

c=200 300 2 -1 4 0 0 5;

wplus=0 1 3 1;

wminus=1 1 3 0;

enddata

min=@sum(level:p*z);

p(ctr)=1;

for(level(i)|i#ne#ctr:p(i)=0);

for(level(i):z(i)=@sum(obj(i,j):wplus(i,j)*dplus(j)+wminus(i,j)*

dminus(j)))

for(h_con_num(i):@sum(variable(j):a(i,j)*x(j))@for(s_con_num(i):

@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i

=g(i));

for(level(i)|i #lt# @size(level):@bnd(0,z(i),goal(i)))

end2）多目标规划的matlab解法：

以书中例5详细说明如下：

a=[-1 -1 0 0

b=[-30 -30 120 48]';

c1=[-100 -90 -80 -70];

c2=[0 3 0 2];

x1,g1]=linprog(c1,a,b,zeros(4,1)) 求第一个目标函数的目标值。

x2,g2]=linprog(c2,a,b,zeros(4,1)) 求第二个目标函数的目标值。

g3=[g1;g2]; 目标goal的值。

x,fval]=fgoalattain('fun',rand(4,1),g3,abs(g3),a,b,zeros(4,1))

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