摘要问题一考虑到水流由地势高流向地势低，将原始数据进行处理，并建立0-1变量来评定两个村庄间能否建立泄洪河道。再由修建泄洪河道的费用计算式，分析影响费用大小的两大制约因素承载泄洪量和泄洪河道长度，可得两种分别以泄洪量大河道短和泄洪量小河道长为主的修建河道的方案，综合考量这两个因素，确立目标函数的约束条件，建立非线性规划，运用lingo软件对模型进行优化求解。
问题二中，主要应用了马尔科夫链的相关定义和性质建立数学模型，运用matlab编程得出运行结果。模型中对等可能概率与非等可能概率进行不同的求解，给出了相关通用方的模型。对运算后得到的稳定性进行判定与分析。
问题三考虑到修建泄洪水道可能会导致下游村庄承载泄洪量过高，而致使修建难度提高，维修不易等因素，我们提出可以修建水库。这样不仅缓解了下游的泄洪水道压力，而且水库具有滞洪、蓄洪，调节水源的作用，可以有效的减少洪涝灾害带来的损失。
一．问题重述。
某个偏远贫困乡，地处山区，一旦遇到暴雨，经常发生洪涝灾害。以往下雨时，完全是依靠天然河流进行泄洪。2023年入夏以来，由于史无前例的连日大雨侵袭，加上这些天然河流泄洪不畅，造成大面积水灾，不仅夏粮颗粒无收，而且严重危害到当地群众的生命财产安全。
为此，乡**打算立即着手解决防汛水利设施建设问题。从长远考虑，可以通过修建新泄洪河道的办法把洪水引出到主干河流。经测算，修建新泄洪河道的费用为（万元），其中表示新泄洪河道的可泄洪量（万立方米/小时），表示新泄洪河道的长度（公里）。
该乡共有10个村，分别标记为①—⑩下图给出了它们大致的相对地理位置，海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势。
其中村⑧距离主干河流最近，且海拔高度最低。乡**打算拟定一个修建在各村之间互通的新泄洪河道网络计划，将洪水先通过新泄洪河道引入村⑧后，再经村⑧引出到主干河流。要求完成之后，每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时以上的泄洪能力。
表1 各村之间修建新泄洪河道的距离（单位：公里）
请通过数学建模方法，解决以下问题：
问题1 根据表2中的数据，为该乡提供一个各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案，使得总费用尽量节省。（提示：从村a→村b的新泄洪河道，一般要求能够承载村a及上游新泄洪河道的泄洪量。）
问题2 新泄洪河道网络铺设完成后，打算安排一位维护人员，每天可以从一个村到与之直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作，并在到达的村留宿，次日再随机地选择一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行维护工作。试分析长此以往，维护人员在各村留宿的概率分布是否稳定？
问题3 试为该乡提出一个更加合理的修建新泄洪河道的办法？
说明：1、 以上各问题必须建立一般的数学模型，不能仅按照题目中提供的数据计算一个结果。
2、建模过程中，可自行提出合理的模型假设。
二．模型的合理假设。
1、不考虑泄洪河道交叉问题。
2、假设洪水只能从地势高的地方流向地势低的地方，所修新泄洪河道洪水流向为自西向东。
3、假设对泄洪能力要求的提高不会增加修建泄洪河道成本的提高。
4、泄洪能力不会随着年份的增长而衰减。
三．问题的分析。
问题一：问题中的10个村庄海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势，所以水流自然流向为自西向东。根据这一自然规律可将数据整理得到有效的修建泄洪河道的距离矩阵。
并由修建新泄洪河道费用方程知，费用同时受泄洪量和河道长度的影响。由影响比重大小可得存在两类基本的可行流向方案。
方案一：用承载能力的高要求换取比较短的河道长度。一个村庄仅可以修建一条泄洪河道到下一个村庄，这样可以减少河道长度，但因为下一个村庄必须能够承载村上一个村庄及上游新泄洪河道的泄洪量，势必会使得泄洪量加大。
方案二：用长的河道长度换取承载能力较低的要求。一个村庄可以修建多条管道到地势低的几个村庄，这样分流了泄洪量，相对的就加大了河道长度。
泄洪量和河道长度是两个相互制约，相互影响的因素，综合考量这两个影响因素，在使得费用最小的这个目标函数下，根据泄洪量和河道长度的约束条件，可转化为线性规划问题，运用lingo 11.0软件即可解得费用最小的最优解，并得到修建泄洪河道网络的最优方案。
问题二：分析维护人员在各村留宿概率分布的稳定，可以考虑用马尔科夫链来建立模型。马尔科夫链的定义为时间和状态都是离散的马尔科夫过程称为马尔科夫链。
因为维护人员每天随机地选择一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行维护工作，因此维护人员未来选择的村庄，只与目前所在的村庄有关。即维护人员转移路线符合矩阵可构成马尔科夫转移矩阵。
四．模型建立与求解。
问题一：1）模型建立：
根据水只能从地势高处往低处流，可得到距离矩阵l和泄洪量矩阵q。其中：
在建立0—1变量矩阵b,其中。
由假设可得村庄地势6>2>9=1>3>7>4=10>5>8，对数据进行处理得新的各村之间修建新泄洪河道的距离表。
表1 数据处理后各村之间修建新泄洪河道的距离（单位：公里）
题目要求每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时以上的泄洪能力，则以最小100万立方米/小时的泄洪能力计算。对于村庄8，以大路程换取承载最小的泄洪量，其余每个村庄直接修建河道到达村8，可得村8承载的最小泄洪量为9*100=900万立方米/小时。对于村庄6，因为其地势最高，为起点站，其输出泄洪量之和最小即为该村庄的最低的泄洪能力100万立方米/小时。
对于除村庄6，8外的村庄，比较其输入该村庄的泄洪量和该村庄输出的泄洪量，可得到以下关系，输入泄洪量加上该村庄本身100万立方米/小时的泄洪能力应该小于等于能够承载的输出的泄洪量。这样，才不会出现洪灾或决堤。
由上可知建立模型如下：
目标函数：
约束条件：2）模型求解。
用lingo11.0对上述线性规划问题进行优化，（lingo程序见附录一）得出修建各村之间修建新泄洪河道网络的方案如下：
表2 各村修建新泄洪河道网络。
根据上表可画出河道网络图。
图1 河道网络图。
以下是lingo 11.0计算出的结果截图。
图2从截图中可以看到最优目标值为571.227万元。
问题二：1）模型建立：
因为系统中，时间和维护人员所处村庄的状态都是离散的，维护人员留宿的十个村就是建立的马氏链模型的十个状态，时间n=1,2，..随机变量表示维护人员所处的状态，。因为在的条件下，的条件概率，是从i状态转移到j状态的概率，即为一步状态转移概率，从而维护人员在各状态之间的一步转移矩阵为1]
用矩阵表示各村之间是否修建泄洪河道，用矩阵表示维护人员在各村留宿状态转移的概率矩阵。
其中。设为一状态概率向量，为状态转移概率矩阵。若。
即 则称为马尔可夫链的一个平稳分布。若随机过程某时刻的状态概率向量为平稳分布，则称过程处于平衡状态。一旦过程处于平衡状态，则过程经过一步或多步状态转移之后，其状态概率分布保持不变，也就是说，过程一旦处于平衡状态后将永远处于平衡状态。
对于我们所讨论的状态有限（即n个状态）的马尔可夫链，平稳分布必定存在。特别地，当状态转移矩阵为正规概率矩阵时，平稳分布唯一。
对概率向量，如对任意的均有。
则称为稳态分布。此时，不管初始状态概率向量如何，均有。
或。这也是称为稳态分布的理由。
设存在稳态分布，则由于下式恒成立。
就得 所以维修人员在在各村留宿概率的平稳分布求解模型为：
2）模型求解。
由图1得各村间修建泄洪河道矩阵。
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