线性代数。
学院班级姓名学号。
第六章作业。
二次型与对称矩阵）
1、 填空题。
(1) 二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12+3x22－x32+2x1x2+2x1x3－3x2x3的矩阵是。
秩是。2)二次型f(x1，x2，x3)＝的矩阵为。
3) 设。则存在可逆矩阵p，使得pttap=b，其中p
(4) 二次型f(x1，x2，x3)＝2x12+x22+x32－2tx1x2+2x1x3 正定时，t应满足的条件是。
(5) 设a为实对称矩阵，且|a|≠0，则把二次型f＝xtax化为。
f＝yta－1y的线性变换是x＝ y 。
2、 选择题。
(1) 实二次型f＝xax为正定的充分必要条件是 。
(a) r(a) =n； (b) a的负惯性指数为零；
(c) |a| >0d) a的特征值全大于零。
2) 设。则a与b的关系为（ ）
a) 合同且相似b) 合同但不相似；
(c)相似但不合同； (d)既不相似也不合同。
（3）设矩阵。
正定，则相似的对角矩阵为（ ）
a)； b)； c)； d)。
4) 设a、b为n阶正定矩阵，则是正定矩阵。
a) k1a＋k2b； (b) a*+b*； c) a－1－b－1 ； d) ab。
5) 设a=（aij）n×n为实对称矩阵，二次型。
为正定的充要条件是（ ）
a）|a|=0； （b）|a|≠0； （c）|a|＞0； （d）|a|＜0。
3、计算题。
1) 已知二次型f(x1，x2，x3)＝5x12+5x22+cx32－2x1x2+6x1x3－6x2x3的秩为2，求c。
2) 设二次型f = 4x12+3x22+2x2x3+3x32
求一个正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；
用配平方法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换；
用合同变换法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换。
3) 求一正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)＝5x12+5x22－3x32－2x1x2+6x1x3－6x2x3化为标准形，并指出f(x1，x2，x3)＝1表示何种二次曲面。
4) 已知二次型f(x1，x2，x3)＝x12+x22+x32＋2ax1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换化为标准形f＝y22+2y32，求参数a、b及所用的正交变换矩阵。
5) 求二次型f(x1，x2，x3)＝x12+3x32＋2x1x2+4x1x3+2x2x3的正、负惯性指数及符号差。
(6) 设n元二次型。
f(x1，x2，…，xn)＝(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2
其中ai(i=1,2,…,n)为实数，试问当a1， a2，…，an-1， an满足什么条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)正定二次型？
四、证明题。
1、 设f(x1，x2，…，xn)＝xtax 是一实二次型，λ1，λ2，…，n是a的特征值，且λ1≤λ2 ≤…n。证明对于任一实n维列向量x有。
1xtx≤xtax ≤λn xtx
2、设a是一个三阶实矩阵，若对任意3维列向量x，都有xtax＝0，则 a为反对称矩阵。
3、设a是n阶正定矩阵，证明|a＋2e|>2n。
4、设am×n矩阵，若r（a）=n，试证ata为正定矩阵。
5、设a为m阶的正定矩阵，b为m×n实阵，试证btab正定的充分必要条件是r（b）=n。
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