二oo七年“数学周报杯”全国初中数学竞赛初赛试题。
一、填空题（每小题3分，满分30分）
1、函数中，自变量的取值范围是。
年底我国外汇储备余额达到10 663亿美元，用科学记数法表示10 663亿美元约为。
美元（保留3个有效数字）。
3、等腰三角形两个内角的度数之比为1︰2，这个等腰三角形底角的度数为。
4、若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是。
5、正方形abcd的边长为1，将其绕顶点a顺时针旋转60°得正方形ab′c′d′，点c所经过的路径长为。
6、甲、乙、丙、丁、戊五名同学手拉手围成一个五边形，每个人心中想一个数，相邻的两个人反所想两数的平均数告诉与他们不相邻的那个人，结果如图所示，则乙心中所想的数是。
7、一宽为1cm的刻度尺在半径为5cm的圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切，另一边与圆有两个交点时，其中一个交点对应的读数恰好为“8”（单位：cm），则另一个交点对应的读数为。
8、智慧学校附近的甲、乙两家商店销售同样的钢笔和练习本，且每支钢笔标价10元，每本练习本标价2元。为促进销售，甲商店买一支钢笔赠送一本练习本；乙商店按标价九折持款。小文购买4支钢笔和24本练习本，至少要花费元。
9、如图，梯形纸片abcd中，ad∥bc，dc⊥bc。将其沿对角线bd折叠，点a恰好落在dc上，记为点a′。若ad=7，ab=13，则a′c的长为。
10、观察这样一列数组：（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），…按照如此规律，则2008在第组。
二、单项选择题（每小题3分，满分30分）
11、下列运算正确的是。
a、 b、 c、 d、
12、将五张分别画有等边三角形、直角三角形、平行四边形、等腰梯形、正六边形的卡片任意摆放，将有图形的一面朝下，从中任意翻开一张卡片，图形一定是中心对称图形的概率是（ ）
abcd、13、现一平面内有a、b、c三点，a、b两点相距5cm，点c到直线ab的距离为2cm，且△abc为直角三角形，则满足上述条件的点c有。
a、2个b、4个c、6个d、8个。
14、抛物线和与轴正半轴分别交于点a和点b。若点a在点b的右边，则与的大小关系为。
a、> b、< cd、无法确定。
15、张先生计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁带。根据需要，至少要买3片软件和2盒磁带，不同的选购方式有（ ）
a、5种b、6种c、7种d、8种。
16、在△abc中，∠a=30°，ab=4，bc=，则∠b的度数为（ ）
a、30b、90c、30°或60d、30°或90°
17、平面直角坐标系中，若一个点的横、纵坐标都是整数，则称该点为整点。若函数与的图象的交点为整点时，则整数的值可取。
a、2个b、3个c、4个d、5个。
18、如图，△abc的面积为60，点d在bc上，bd=2cd，连接ad，点e为ad中点，连接be并延长交ac于点f，则△aef的面积为。
a、2b、4c、5d、8
19、甲、乙二人从m地同时出发去n地，甲用一半时间以每小时千米的速度行走，另一半时间以每小时千米的速度行走；乙以每小时千米的速度行走一半路程，另一半路程以每小时千米的速度行走。若，则下列说法正确的是。
a、二人同时到达n地 b、甲先到达n地。
c、乙先到达n地d、若》，甲先到达n地；若<，乙先到达n地。
20、一些完全相同的小正方体搭成一个几何体，这个几何体从正面和左面看所得的平面图形均为右图所示，小正方体的块数可能有（ ）
a、7种 b、8种 c、9种 d、10种。
三、解答题（满分60分）
21、（本题5分）先化简，再求值：，其中。
22、（本题6分）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11米），围成中间有一道篱笆的长方形花圃。
1）如果要围成面积为45平方米的花圃，那么ad的长为多少米？
2）能否围成面积为60平方米的花圃？若能，请求出ad的长；若不能，请说明理由。
23、（本题6分）某校九年一班全体学生进行了一次“健康知识竞赛”。根据竞赛成绩（得分为整数，满分为100分）绘制了频数分布直方图（如图所示），根据频数分布直方**答下列问题：
1）求该班的学生人数；
2）若成绩不少天80分为优秀，且该班有5名学生的成绩为80分，则学生成绩的优秀率是多少？
3）若该班超过82分的学生有20人，则学生成绩的中位数可能是多少分？（直接写出答案即可）
24、（本题7分）小宇同学在布置班级文化园地时，想从一块长为20cm，宽为8cm的长方形彩色纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，并使其一个顶点在长方形的一边上，另两个顶点落在对边上，请你帮他计算出所剪下的等腰三角形的底边长。
25、（本题8分）在修建某条公路的过程中，需挖通一条隧道，甲、乙两个工程队从隧道两端同时开始挖掘。施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直至隧道挖通。下图是甲、乙两个工程队所挖隧道的长度（米）与挖掘时间（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
1）求该隧道的长；
2）乙工程队工作多少天时，两队所挖隧道的长度相差18米？
26、（本题8分）已知，点o为等边△abc的内心，直线过点o，过a、b、c三点分别作直线的垂线，垂足分别为点d、e、f。
当直线与bc平行时（如图1），易证：be+cf=ad。
当直线绕点o旋转到与bc不平行时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段ad、be、cf之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明。
27、（本题10分）甲、乙两家公司共有150名工人，甲公司每名工人月工资为1 200元，乙公司每名工人月工资为1 500元，两家公司每月需付给工人工资共计19.5万元。
1）求甲、乙公司分别有多少名工人；
2）经营一段时间后发现，乙公司工人人均月产值是甲公司工人的3.2倍，于是甲公司决定内部调整，选拔了本公司部分工人到新岗位工作。调整后，原岗位工人和新岗位工人的人均月产值分别为调整前的1.
2倍和4倍，且甲公司新岗位工人的月生产总值不超过乙公司月生产总值的40%，甲公司的月生产总值不少于乙公司的月生产总值，求甲公司选拔到新岗位有多少人？
3）在（2）的条件下，甲公司决定拿出10万元全部用于奖励本公司工人，每人的奖金不低于500元且每名新岗位工人的奖金高于原岗位工人的奖金。若以整百元为单位发放，请直接写出奖金发放方案。
28、（本题10分）在△abc中，∠aob=90°，oa=ob=10，分别以边oa、ob所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系（如图所示），点p自点a出发沿线段ab匀速运动至点b停止，同时点d自原点o出发沿轴正方向匀速运动，在点p、d运动的过程中，始终满足po=pd，过点o、d向ab作垂线，垂足分别为点c、e，设od的长为。
1）求ap的长（用含的代数式表示）；
2）在点p、d运动的过程中，线段pc与be是否相等？若相等，请给予证明；若不相等请说明理由；
3）设以点p、o、d、e为顶点的四边形面积为，请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围。
二〇〇七年“数学周报杯”全国初中数学竞赛初赛试题。
参***及评分标准。
一、填空题（每小题3分，满分30分。
1. x≥-2且x≠2 2. 1.07× 3. 45°或72° 4. b≤3且b≠2
5. 6. 10 7. 2或14 8. 76 9. 5 10. 45
二、单项选择题（每小题3分，满分30分）
三、解答题（满分60分）
21．（本题5分）
解：原式1分。
2分。当时1分。
原式1分。22．（本题6分）
解：（1）设ad的长为米，于是有（243）·451分。
解得3， 51分。
当3时，ab24324915＞11，不符合题意，舍去 ……1分。
当5时，ab24324159＜11，故ad的长为5米 ……1分。
（2）不能围成面积为60平方米的花圃．
理由：假设存在符合条件的长方形，设ad的长为米，于是有。
243）·60，整理得．
＜0，∴这个方程无实数根1分。
不能围成面积为60平方米的花圃1分。
23．（本题6分）
解：（1）∵4+8+10+12+1650，∴该班有50名学生1分。
2）∵，该班学生成绩的优秀率为66% …2分。
（3）81分或81.5分或82分3分。
24．（本题7分）
解：分三种情况 ：（1）当底边在长方形的长边上时，如图1，abac10 cm，be6 cm，bc2be12 cm …2分。
2）当腰在长方形的长边上时，如图2（a），bcab10 cm，cebcbe1064 cm，accm2分。
如图2（b），bcac10 cm，bebc＋ce10＋616 cm，
abcm2分。
故等腰三角形的底边长为cm或cm或cm ……1分。
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