南通市教研室2023年数学全真模拟试卷四。
试题ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
1． 已知数集中有3个元素，则实数不能取的值构成的集合为 ▲
2． 在△abc中， ab1，ac，，则 ▲
4． 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为d，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为dd，若第二子代的d，d的基因遗传是等可能的（只要有基因d则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显示矮茎），则第二子代为高茎的概率为 ▲
5． 蒸汽机飞轮的直径为1.2米，以320**/分）的速度作逆时针旋转，则飞轮上一点1秒内所经过的路程为 ▲ 米．
6． 在平面直角坐标系xoy中，已知向量，，则 ▲
7． 在一本书中，分组统计100个句子中的字数，得出下列结果：字数1~5个的5句，字数6~10个的27句，字数11~15个的32句，字数16~20个的21句，字数21~25个的9句，字数26~30个的6句．利用组中值可估计该书中平均每个句子所包含的字数为 ▲
8． 在△abc中，若1，则 ▲
9． 下面的流程图中，能实现数据a，b互相交换的有 ▲ 把符合条件的图形序号全填上）
10．已知为正实数，满足，则的最小值为 ▲
11．已知存在实数，满足对任意的实数，直线都不是曲线的切线，则实数的取值范围是 ▲
12．已知某四面体的六条棱长分别为，，，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为 ▲
13．在平面直角坐标系xoy中，直线与椭圆交于两点、，且，分别为椭圆的左、右顶点，则直线与的交点所在的曲线方程为 ▲
14．在平面直角坐标系xoy中，过原点o的直线与函数的图象交于a、b两点（a在b的左侧），分别过a、b作y轴的平行线分别与函数的图象交于c、d两点，若bc//x轴，则四边形abcd的面积为 ▲
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证。
明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）已知函数（其中的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．
1）求的解析式； （2）当时，求的最大值及相应的的值．
16．（本题满分14分）
如图，在四面体abcd中，，点e是bc
的中点，点f**段ac上，且．
1）若ef∥平面abd，求实数的值；
（2）求证：平面bcd⊥平面aed．
17．（本题满分15分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元元/，问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：元）最少？
18．（本题满分15分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，右顶点为，直线过原点，且点在x轴上方，直线与分别交直线：于点、.
1）若点，求△abc的面积；
2）若点为动点，设直线与的斜率分别为、.
①试**：是否为定值？若为定值，请求出；
若不为定值，请说明理由；
②求△aef的面积的最小值。
19．（本题满分16分）已知等比数列的首项为，公比为，且，．（1）求数列的通项公式；
2）若从数列中依次抽取的一个无穷等比数列，满足其所有项的和落在区间内，试求出所有这样的等比数列．
参考公式：首项为a1，公比为q（0<|q|<1）的无穷等比数列的各项的和。）
20．（本题满分16分）定义在正实数集上的函数满足下列条件：
①存在常数，使得； ②对任意实数，当时，恒有．
1）求证：对于任意正实数，；
2）证明：在上是单调减函数；
3）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
试题ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括a、b、c、d四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
a．（几何证明选讲）
如图，已知两圆交于a、b两点，过点a、b的直线分别与两圆。
交于p、q和m、n．求证：pm//qn．
b．（矩阵与变换）
已知矩阵的逆矩阵，求矩阵．
c．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xoy中，过椭圆在第一象限处的一点分别作轴、轴的两条垂线，垂足分别为，求矩形周长最大值时点的坐标．
d．（不等式选讲）
已知关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．
必做题】第题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．如图，正四棱柱中，，，点在棱上，且．
1）求的长；
（2）求钝二面角的大小．
23．某品牌设计了编号依次为的n种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择种款式用来拍摄广告．
1）若，且甲在1到为给定的正整数，且号中选择，乙在到号中选择．记pst为款式（编号）和同时被选中的概率，求所有的pst的和；
2）求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率．
南通市教研室2023年数学全真模拟试卷四。参***。
答案解析。1．根据集合元素的互异性，且，所以实数不能取的值构成的集合为；
2. 由正弦定理知，得，又，所以，故；
4. 第二子代的一对基因的所有等可能情形为dd，dd，dd，dd，其中高茎的有dd，dd，dd共3
种，则所求概率为；
5. 飞轮上一点1秒内所经过的路程为；
6. 由，得，所以；
7. 利用组中值得平均每个句子所包含的字数为；
8. 由及得，；
9. 易得符合题意；对于：因为，所以，进而，符合题意；同理可得符合题意；
10. 因为为正实数，所以，解得（当且仅当时等号。
成立）11. 易得解无实数，即解无实数，所以；
12.不可能为两异面直线的长，这是可以反证的（假设为异面直线的长，则会出现六条棱共面的情形，这与假设矛盾）．故根据余弦定理得较长棱所在直线所成角的余弦值为；
13. 直线的方程为，的方程为，两式左右分别相乘得。
因为点、在椭圆上，所以，即，，又，所以，代入。
得；14. 设，则，因为bc//x轴，所以，即，①
又a、b、o三点共线，故，②
由①②得，故四边形abcd的面积为．
15．命题立意：本题主要考查三角函数的图像与性质，考查运算求解的能力．
解：（1）由题意得，周期，得，（4分） 此时，将代入上式得， 即，解得， 所以＝；（8分）
（2）因为， 所以，（10分）
所以，当且仅当，即时，即有的最大值为2．（14分）
16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力．
解：（1）因为ef∥平面abd，易得平面abc，平面abc平面abd，所以，（5分）
又点e是bc的中点，点f**段ac上，所以点f为ac的中点，由得；（7分）
（2）因为，点e是bc的中点，所以，，（9分）
又，平面aed，所以平面aed，（12分）
而平面bcd，所以平面bcd⊥平面aed．（14分）
17．命题立意：本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．
解：（法一）设圆锥母线与底面所成角为，且，（2分）
则该仓库的侧面总造价。
（8分）由得，即，（13分）
经检验得，当时，侧面总造价最小，此时圆锥的高度为m．（15分）
法二）设圆锥的高为m，且，（2分）
则该仓库的侧面总造价
（8分）由得，（13分）
经检验得，当时，侧面总造价最小，此时圆锥的高度为m．（15分）
18．命题立意：本题主要考查直线的方程、椭圆的方程及其简单性质等基础知识，考查灵活运用数。
形结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的能力．
解：（1）由题意得。
解得，（3分）
则△abc的面积。
5分）（2）①为定值，下证之：
证明：设，则，且，（7分）
而。由（1）得，所以；（10分）
易得直线的方程为，直线的方程为，令得，则△aef的面积，（13分）
因为点在x轴上方，所以，由得（当且仅当时等号成立）
所以，△aef的面积的最小值为。（15分）
19．命题立意：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式等基础知识，考查灵活运用基本量、
有限与无限的数学思想进行运算求解、探索分析的综合能力。
解：（1）因为，， 所以，（2分）
解得，又，所以，（4分） 此时，；（6分）
（2）设无穷等比子列的首项为，公比为，且，则其所有项和，（9分）
即， 故，所以，（12分）
此时， 所以，（14分）
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