本教程共30讲。
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孙子问题与逐步约束法。
在古书《孙子算经》中有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是：
有一堆物品，三个三个数剩两个，五个五个数剩三个，七个七个数剩两个。求这堆物品的个数。
我们称这类问题为孙子问题。
例1 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求满足条件的最小自然数。
分析与解：这道例题就是《孙子算经》中的问题。这个问题有三个条件，一下子不好解答。
那么，我们能不能通过先求出满足其中一个条件的数，然后再逐步增加条件，达到最终解决问题的目的呢？我们试试看。
满足“除以3余2”的数，有2，5，8，11，14，17，…
在上面的数中再找满足“除以5余3”的数，可以找到8，8是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”两个条件的数，容易知道，8再加上3与5的公倍数，仍然满足这两个条件，所以满足这两个条件的数有。
在上面的数中再找满足“除以7余2”的数，可以找到23，23是同时满足“除以3余2”、“除以5余3”、“除以7余2”三个条件的数。23再加上或减去3，5，7的公倍数，仍然满足这三个条件，[3，5，7]=105，因为23＜105，所以满足这三个条件的最小自然数是23。
在例1中，若找到的数大于[3，5，7]，则应当用找到的数减去[3，5，7]的倍数，使得差小于[3，5，7]，这个差即为所求的最小自然数。
例2 求满足除以5余1，除以7余3，除以8余5的最小的自然数。
分析与解：与例1类似，先求出满足“除以5余1”的数，有6，11，16，21，26，31，36，…
在上面的数中，再找满足“除以7余3”的数，可以找到31。同时满足“除以5余1”、“除以7余3”的数，彼此之间相差5×7=35的倍数，有。
在上面的数中，再找满足“除以8余5”的数，可以找到101。因为101＜[5，7，8]=280，所以所求的最小自然数是101。
在例1、例2中，各有三个约束条件，我们先解除两个约束条件，求只满足一个约束条件的数，然后再逐步加上第二个、第三个约束条件，最终求出了满足全部三个约束条件的数。这种先放宽条件，再逐步增加条件的解题方法，叫做逐步约束法。
例3 在10000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有几个？
解：满足“除以3余2”的数有5，8，11，14，17，20，23，…
再满足“除以7余3”的数有17，38，59，80，101，…
再满足“除以11余4”的数有59。
因为阳[3，7，11]=231，所以符合题意的数是以59为首项，公差是231的等差数列。（10000-59）÷231=43……8，所以在10000以内符合题意的数共有44个。
例4 求满足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然数。
分析与解：如果给所求的自然数加3，所得数能同时被6，8，9整除，所以这个自然数是。
例5学校要安排66名新生住宿，小房间可以住4人，大房间可以住7人，需要多少间大、小房间，才能正好将66名新生安排下？
分析与解：设需要大房间x间，小房间y间，则有7x+4y=66。
这个方程有两个未知数，我们没有学过它的解法，但由4y和66都是偶数，推知7x也是偶数，从而x是偶数。
当x=2时，由7×2+4y=66解得y=13，所以x=2，y=13是一个解。
因为当x增大4，y减小7时，7x增大28，4y减小28，所以对于方程的一个解x=2，y=13，当x增大4，y减小7时，仍然是方程的解，即x=2+4=6，y=13-7=6也是一个解。
所以本题安排2个大房间、13个小房间或6个大房间、6个小房间都可以。
就是说，方程7x+4y=66有无数个解。由于这类方程的解的不确定性，所以称这类方程为不定方程。
根据实际问题列出的不定方程，往往需要求整数解或自然数解，这时的解有时有无限个，有时有有限个，有时可能是唯一的，甚至无解。例如：
x-y=1有无限个解，因为只要x比y大1就是解；
3x+2y=5只有x=1，y=1一个解；
3x+2y=1没有解。
例6 求不定方程5x+3y=68的所有整数解。
解：容易看出，当y=1时，x=（68-3×1）÷5=13，即x=13，y=1是一个解。
因为x=13，y=1是一个解，当x减小3，y增大5时，5x减少15，3y增大15，方程仍然成立，所以对于x=13，y=1，x每减小3，y每增大5，仍然是解。方程的所有整数解有5个：
由例5、例6看出，只要找到不定方程的一个解，其余解可通过对这个解的加、减一定数值得到。限于我们学到的知识，寻找第一个解的方法更多的要依赖“拼凑”。
练习15 1.一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小自然数。
2.有一堆苹果，3个3个数余1个，5个5个数余2个，6个6个数余4个。这堆苹果至少有多少个？
3.在小于1000的自然数中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然数是几？
4.在5000以内，除以3余1，除以5余2，除以7余3的自然数有多少个？
5.有一个两位数，除以2与除以3都余1，除以4与除以5都余3，求这个数。
6.用100元钱去买3元一个和7元一个的两种商品，钱正好用完，共有几种买法？
7.五年级一班的43名同学去划船，大船可坐7人，小船可坐5人，需租大、小船各多少条？ 练习15
解：满足除以5余4的数有4，9，14，19，24，…
再满足除以8余3的数有19，59，99，139，179，219，259，299，339，…
再满足除以11余2的最小自然数是299。
2.82个。
提示：满足除以4余3，除以5余2，除以7余4的最小自然数是67。［4，5，7］=140，67+140×6=907。
4.48个。
提示：满足除以3余1，除以5余2，除以7余3的最小自然数是52。［3，5，7］=105，（5000-52）÷105=47……13。
提示：除以2与除以3都余1，相当于除以6余1；除以4与除以5都余3，相当于除以20余3。
6.5种。提示：容易看出，各买10个是一种买法。7个3元的商品可以换3个7元的商品，可得下面的5种买法：
7.4条大船，3条小船。
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例3 有m m 2 只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的 m 1 只杯子。经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？分析与解 当m是奇数时，m 1 是偶数。由例2的分析知，如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，杯口朝上 下 的杯子数的奇偶性不会改变。一开始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的...
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