几何概型——飞机投弹(4.3 停留在黑砖上的概率)
在第2节求摸到红球的概率条件很苛刻,它只有当一个试验仅有有限个等可能的结果才能应用。
但是,实际上存在着一些偶然现象,它所包含的结果有无限个。下面我们即将看到的就是这样一种类型:它们的结果有无限个,而每个结果出现的可能性倒是相等的,这就是通常说的“几何概型”.
图4-13设想一架飞机在某一地区m随意投弹,这是一个试验。这个试验有多少种结果呢?显然炸弹可以落在这个点,也可以落在那个点……由于这一地区m有无限多个点,因此可以有无限多种投弹结果,又由于投弹是随意进行的,因此还可以认为各点被命中的可能性是相同的,就是说,各个结果出现的可能性相同。
如果现在想求炸弹恰好投中某一兵工厂g的概率,而前面方法又不适用,该如何办呢?
我们可以这样思考:
容易看出,如果兵工厂g的面积很小,炸弹落在兵工厂g的可能性当然就比较小;如果兵工厂g的面积很大,炸弹命中兵工厂g的可能性当然就比较大。这样,就可用兵工厂g与该区域m的面积比来表示炸弹命中g的概率,即p=.
这就是几何概型的概率计算公式。
如果区域m的总面积为163平方公里,而兵工厂g的面积是1.2平方公里,那么命中兵工厂的概率为p==0.007.
我们再来看一个例子。
某人打开收音机想听电台报时,他等待的时间小于1刻钟的概率是多少?
电台一般是逢整点报时,所以打开收音机的时刻是n时与n+1时之间,并且可以认为,这一时刻处于n时0分到n时60分(即n+1时)内任一点的可能性一样的。
等待时间小于一刻钟”即打开收音机的时刻正处于n时45分到n时60分之间。
所以,“等待时间小于1刻钟”的概率为p==.
这个例子说明,几何概型不但可以用于平面的情形,即用面积之比来计算,也可以用于线段或曲线段的情形。
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