勾股定理。一、思维导图。
二、易错题。
、满足a²+b²=c²的三个正整数，称为＿＿＿比如：5,12,＿＿
解：勾股数；√5²+12²=13
2、在△abc中，ab=15，ac=13，高ad=12，则△abc的周长是＿＿＿
解：应分两种情况说明：
（1）当△abc为锐角三角形时，在rt△abd中，bd=√（ab²-ad²）=15²-12²）=9，在rt△acd中，cd=√（ac²-ad²）=13²-12²）=5，∴bc=5+9=14
∴△abc的周长为：15+13+14=42；
（2）当△abc为钝角三角形时，高ad交bc延长线于d
在rt△abd中，bd=√（ab²-ad²）=15²-12²）=9．
在rt△acd中，cd=√（ac²-ad²）=13²-12²）=5
∴bc=9-5=4
∴△abc的周长为：15+13+4=32
综上，当△abc为锐角三角形时，△abc的周长为42；
当△abc为钝角三角形时，△abc的周长为32．
3、在一个圆柱形灯罩侧面上缠绕彩带，如图（灯罩的俯视图），已知灯罩高108cm，底面周长为36cm，如果在灯罩侧面缠绕彩带4圈，最少需要彩纸多长？那么绕n圈呢？
解：（1）∵缠绕灯罩4圈，且高108cm
∴一圈高：108÷4=27cm
∴一圈彩带长：√27²+√36²=45cm
∴四圈彩带总长：45×4=180cm
（2）∵绕n圈，且高108cm
∴一圈高：108÷n（cm）
∴一圈彩带长：√（108÷n）²+36²
∴彩带总长：n×√（108÷n）²+36²=36×√n²+9
4、在正方形abcd中，e是bc中点，f为cd上一点，且df=3cf，判断ae和ef的位置关系。
证：连af。设df=3x，cf=x
∴ad=ab=dc=bc=x+3x=4x
∴be=ec=2x
∵∠b=∠c=∠d=90°
∴ae²=（2x）2+（4x）2=20x²
ef²=x²+（2x）²=5x²
af²=（3x）²+4x）²=25²
∴ae²+ef²=af²
∴ae⊥ef
5、如图，在△abc中，∠b=90°，两直角边ab=7，bc=24，在三角形内有一点p，使p到各边距离相等。与ac，cb，ab的交点为g，f，e。则这个距离为＿＿＿
解：∵∠b=90°
∴ac=√ab²+bc²=√7²+24²=25
连cp，pa，bp，设ga=x，则ea=x
be=7-x=eb，cf=cg=17+x
∴17+x+x=25
x=4∴这个距离为7-4=3
6、在△abc中，∠b=22.5°，∠c=60°，ab的垂直平分线交bc于d，bd²=72，ae⊥bc于e，求ec²。
解：∵ab的中垂线为fd
∴∠b=22.5°=∠bad，∴∠adc=45°，∴de=ea
bd²=ad²=72，∵ae⊥dc，∴ae²+de²=72
∴ae²=de²=36
∵∠c=60°，∴eac=30°
设ec²=x²，则ac²=²4x²
x²+36=4x²
x²=12∴ec²=12
7、正方形abcd的边长为8，m在ab上，bm=2，对角线ac上有一动点p，求pm+pb的最小值。
解：连接md。做m关于ac的对称点e交ad于e。∵mb=2
∴ed=2最小值为be。∵∠a=90°
∴be=√（8-2）²+8²=10
∴pm+pb最小值为10
8、一个梯子ab长2.5m，顶端a靠在墙ac上。这时梯子下端b与墙角c距离为1.5m，梯子向右水平滑动0.5m停在de位置上，求梯子顶端a向下滑动了多少米？
解∵∠c=90°，∴ab²=ac²+bc²，de²=ec²+cd²
∴2.5²=ac²+1.5²，2.
5²=ec²+（1.5+0.5）²，ac=2m，ec=1.
5m，∴ae=ac-ec=2-1.5=0.5（m），9、将一根长24cm的筷子置于底面直径5cm，高12cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外的长度为h（cm），则h的取值范围是＿＿＿
解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24-12=12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，此时，杯内筷子长=√5²+12²=13cm
∴h=24-13=11cm．
∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm
0、一张矩形纸片abcd的长ad=9cm，宽ab=3cm，折叠后，使得点d与点b重合，c与g重合，求折叠后be的长和折痕ef的长。
解：∵折叠后d与b重合。
∴ed=be
cf=cg，ab=dc=3cm
设fc=x（cm），则bf=9-xcm，gf=x（cm）
∵∠a=∠b=∠c=∠d=∠g=90°
∴bf²=bg²+gf²
²=3²+x²
∴x=4bf=9-4=5cm
又∠bef=∠def=∠efb
∴be=bf=5cm
作fh⊥ad交ad于h，fc=hd=3，eh=9-3-5=1cm
∵∠fhe=90°
∴ef=√1²+3²=√10（cm）
三、思考题。
如图，△abc为等腰三角形，c为直角顶点，d1，d2，d3...dn-1是cb边上的n等分点，从c作ad1的垂线，分别交ad1，ad2，ad3...adn-1ab于p1，p2，p3，..
pn-1,pn点，连接pndn-1，求证：∠ad1c=∠bdn-1pn。
2、如图，等边三角形abc的边长a=25+12根号3,p是三角形abc内的一点，若pa2+pb2=pc2。若pc=5，求pa、pb的长。
4、已知p,q均为质数，切满足5p2+3q=59.则以p+3，1-p+q，2p+q-4为边长的三角形是什么三角形？
5、如图，△abc中三条角平分线交于点o，已知ab＜bc＜ca，求证：oc＞oa＞ob。
6、将长为2n（n为自然数且n≥4）的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记（a，b，c）为三边长分别是a，b，c且满足a＜b＜c的一个三角形，就n=6的情况，分别写出所有满足题意的（a，b，c）所构成的三角形是什么三角形？
7、如图，rt△abc中，d是ac中点，de⊥ab与e，求证：be2-ae2=bc2
实数。一、思维导图。
.无理数定义：无限不循环小数。
2.实数的分类：分为有理数和无理数。有理数分为：正有理数、负有理数、零。
3.算术平方根：若一个正数x的平方等于a，即x²=a，则这个正数x为a的算术平方根。a的算术平方根记作，读作“根号a”，a叫做被开方数。规定：0的算术平方根为0。
4.平方根：如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x就叫做a的平方根。
5.二次根式的定义：一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数，被开方数必须大于或等于0。
6.最简二次根式满足：①.分母中不含根号=根号下没有分母=根号下没有分数。
②．根号下不含可以开得尽方的数。
7.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
8.2=a =a
①二次根式的乘法法则：×
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．
②积的算术平方根的性质：
两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．
③二次根式的除法法则：=
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．
④商的算术平方根的性质：=
二、易错题。
.已知：y=x－+2，求－.
解：∵x－2≥0,2－x≥0
∴x=2,y=×2－0+0=1
将x=2，y=1代入所求式，得。
原式==3-3=0
2、下列说法：①只有正数才有平方根；②－2是4的平方根；③5的平方根是；④±都是3的平方根；⑤的平方根是－2，其中正确的是（
a.①②b.③④
c.③④d.②④
解：错误原因①：0的平方根为0
③：5的平方根为±
⑤：的平方根是2（任何非负数的平方根为非负数）
故选d3、若与互为相反数，求的值。
解：∵≥0，≥0.
又∵、互为相反数。
即。a-b+2=0
b=a+b-1=0
解得。a=-
代入原式，得。
原式===2
答：所求式的值为-2
4、已知0解：原式可化为。
∴x-<0
∴原式=x++x－=2x
5、先化简，再求值。－，其中x=4,y=27.
解：原式=6
6、已知，2m+1的平方根是±3，的算数平方根是2，求m+2n的平方根。
解：由题意，得。2m+1=
解得，m=4，n=18
∴m+2n=40
故m+2n的平方根为。
7、使＋有意义的x的取值范围是（
且x≠2解：使有意义的x的取值范围是x≥0，使有意义的x的取值范围是x-2≠0，x-2>0.
综上，使＋有意义的x的取值范围是x>2.
已知，且，求x+y的值。
解：∵≥0，≥0又∵
又∵，即x-y≤0
∴或。∴x+y=－1或2
下列各式计算正确的是（
a、b、
c、d、（x>0，y≥0）
解：错因：a.应为。
b.应为。c.应为。故选d
是否存在正整数a、b（a
解：存在。，因为只有同类二次根式才能合并，所以。
是同类二次根式。
设。所以m+n=6，又a，b，a解得。
即。可得。三、思考题。
设x、y为正有理数，，为无理数，求证：+为无理数。
设x，y及+为整数，证明：，为整数。
若实数x，y满足3+5︱y︱=7，求s=2-3︱y︱的取值范围。
有下列三个命题：
（甲）若a，b是不相等的无理数，则ab+a-b是无理数。
（乙）若a，b是不相等的无理数，则是无理数。
（丙）若a，b是不相等的无理数，则+是无理数。
其中正确命题的个数为（
（a）0（b）1
（c）2（d）3
6．计算。7.计算。
8.已知整数x，y满足，那么整数对（x，y）的个数是。
9.已知a，b，c为正整数，且为有理数，证明：为整数。
0.已知实数x，y满足（，求证：x+y=0。
八年级数学上册第一二章知识点整理
勾股定理。一 思维导图。二 易错题。满足a b 的三个正整数，称为 比如 12,解 勾股数 12 13 2 在 ab中，ab 1，a 13，高ad 12，则 ab的周长是 解 应分两种情况说明 1 当 ab为锐角三角形时，在rt abd中，bd ab ad 1 12 9，在rt ad中，d a ad...
八年级数学上册复习第一二章
第一章勾股定理。1 勾股定理 2 勾股定理逆定理 3.勾股数。第二章实数。1 平方根的概念 性质 算术平方根的概念及其性质 2 立方根的概念及其性质 3 实数的概念及其分类 1 概念。2 分类 按定义分按性质分。3叫无理数。4 与实数有关的概念是一一对应的。5 算术平方根的运算律 基础训练 1 一架...
2019八年级数学上册知识点整理归纳 第一章鲁教版
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