答案详解。10、五种判定方法复习巩固。
一、一次全等。
1、（1）证明：∵∠adf=∠1+∠4，∠daf=∠2+∠3∠1=∠2，∠3=∠4∴∠adf=∠daf（2）证明：∵ef⊥ad
∠fea=∠fed=90°
又∵∠eaf=∠edf，ef=ef（公共边）∴△aef≌△def（aas）∴ae=de
二、二次全等。
2、证明：∵ab=ad，bc=cd，ac=ac（公共边）∴△abc≌△adc（sss）∴∠bca=∠dca
bc=dc，cp=cp（公共边）∴△pbc≌△pdc（sas）∴pb=pd
3、证明：∵am⊥cf，an⊥be∴∠bna=∠cma=90°又∵ab=ac，an=am∴rt△abn≌rt△acm（hl）∴∠abe=∠acf
又∵ab=ac，∠bae=∠caf∴△abe≌△acf（asa）
三、综合应用。
4、（1）证明：在rt△aoc和rt△bod中∵oc=od，∠coa=∠dob=90°oa=ob
rt△aoc≌rt△bod（sas）∴ac=bd
2）ac1⊥bd1
证明：延长bd1交ac1于m，交ao于f∵∠bod1=90°-∠aod1=∠aoc1
od1=oc1，ob=oa
△od1b≌△oc1a（sas）∴∠obd1=∠oac1又∵∠obd1+∠ofb=90°
oac1+∠ofb=∠oac1+∠afm=90°∴∠amb=90°则ac1⊥bd1
5、（1）证明：过c作cm⊥x轴于m易证∠odc=∠pcm又∠pcm和∠opc为内错角∴∠cpo=∠cdo
2）证明：过点c作cn⊥y轴于n易证△pcn≌△dcm∴cp=cd
3）②正确。
证明：ad=am+md=3+dmbp=bn-pn=5-pn
又∵pn=dm
ad+bp=3+dm+5-pn=8∴ad+bp的值不变。
12、与角平分线有关的问题。
一、利用角平分线条件直接找全等三角形1、证明：∵oe∥bc∴∠b=∠oed
又∵∠acb=90°，cd⊥ab，则∠b+∠bcd=∠acd+∠bcd=90°∴∠b=∠acd∴∠oed=∠acd又∠1=∠2,ao=ao∴△aeo≌△aco（asa）∴ac=ae
二、利用“角平分线+垂直”这一条件构造全等三角形2、证明：延长bo、ae交于点p
∠1=∠2，be=be,∠bea=∠bep=90°∴△bea≌△bep（asa）∴ae=pe=
1ap2又∠2+∠p=∠oap+∠p=90°∴∠2=∠oap
bo=ao，∠bod=∠aop∴△bod≌△aop∴bd=ap=2ae
三、利用角平分线在角两边截取两条相等的线段构造全等三角形3、证明：**段bc上取bf=ba，连ef∵be平分∠abc，∴∠abe=∠pbe
在△bae和△bfe中ba=bf∠abe=∠fbe∴△bae≌△bfe∴ab=bf，∠a=∠bfe∵ab∥cd∴∠d=∠efc又ce平分∠bcd∴∠fce=∠dce∴∠efc=∠d∴∠fce=∠dce,ce=ce∴△efc≌△edc∴dc=fc
bc=bf+fc=ab+cd
四、利用角平分线作垂线构造直角三角形全等4、证明：作pc⊥af于c，连接pe、pf∵pd⊥ef，de=df∴pe=pf（三线合一）∵pa平分∠eaf∴∠1=∠2在△pca与△pba中。
pca=∠pba，pa=pa（公共边）∴△pca≌△pba∴ac=ab，pb=pc又∵pe=pf，pb=pc∴rt△pcb≌rt△pbe∴be=fc
af-ab=af-ac=cf=be∴af-ab=be
五、角平分线中的一个常见基本图形和基本结论。5、（1）证明：作ch⊥ob，交ob延长线于h则cm=ch∵ca=cb
rt△cma≌rt△chb∴∠3=∠hbc∴∠3+∠4=∠hbc+∠4∴cm=ch，oc=oc
rt△omc≌rt△ohc（hl）∴om=oh=ob+bh
oa+ob=om+ma+ob=om+oh=2om（2）证明：作ch⊥ob于h∵∠3+∠4=180°又∠4+∠hbc=180°∴∠hbc=∠3，又∠1=∠2易证△amc≌△bhc（aas）∴ca=cb
同（1）可证得：om=oh∴am=bh∴oa+ob=2om
3）（4）证明过程类似（1）（2）证明过程证明。
13、中线以及线段和差倍分等问题。
a.与中点有关的问题。
一、将中点处的线段倍长，构造全等三角形1、（1）证明：延长ad至f，使得df=ad，连bf∵ad=df，∠adc=∠bdf，bd=dc
△adc≌△bdf（sas）∴bf=ac
在△abf中，ab+bf＞af∴ab+ac＞2ad（2）解：∵ab-ac＜2ad＜ab+ac∴5-3＜2ad＜5+3∴1＜ad＜4
二、过中线所对的边的两端点向中线作垂线构造全等三角形2、证明：作cf⊥ad，be⊥ad交其延长线于e∵bd=dc,∠bde=∠fdc，∠bed=∠cfd∴△bed≌△fdc（aas）∴de=df
又ac＞af，ab＞ae∴ab+ac＞af+ae
而af+ae=ad-df+ad+de=2ad∴ab+ac＞2ad
b.与线段的和、差、倍、分有关的问题。
一、等量代换法：
1、（1）证明：∵∠bac=90°∴∠bap+∠cap=90°∵be⊥ap
∠bap+∠abe=90°∴∠cap=∠abe
又∵ab=ac，∠bac=∠bea=90°∴△bea≌△cea∴cf=ae，af=be而ae=af+ef∴cf=af+ef=be+ef∴ef=cf-be
2）ef=be+cf
理由：∵be⊥ap，cf⊥ap∴∠aeb=∠afc=90°∴∠fac+∠acf=90°∵∠bac=90°∴∠bae+∠fac=90°∴∠bae=∠acf∵∠aeb=∠afc，ab=ac∴△abe≌△caf（aas）∴ae=cf，be=af∵ef=ae+af∴ef=be+cf二、截长补短法：
2、证明：在ae上取点m，使得am=cn，连cm∵∠cab=∠cba=45°，ca=cb∴∠acb=90°，则∠1+∠aec=90°又cn⊥ae，则∠2+∠aec=90°∴∠1=∠2
△acm≌△cbn（sas）∴∠acm=∠b=45°∴∠mce=∠b=45°∴cm=bn，ce=be∴△cme≌△bne（sas）∴me=ne
ae=am+me=cn+ne
3、证明：在ed上取点m，使得em=bc，连am、ag，则易证：△aem≌△abc∴∠bac=∠eam，am=ac
∠dac=∠dab+∠bac=45°=∠dab+∠gad∴∠bac=∠gad=∠eam
∠mad=∠eag=45°=∠cap又ad=ad∴△adm≌△adc∴md=cd
de=dm+em=bc+cd三、中线倍长法：
4、证明：延长ad至f，使得ad=df，连cf易证：△abd≌△fcd（sas）∴ab=cf，∠b=∠fcd又∵∠ace=∠b+∠bac∠bca=∠bac∠acf=∠acb+∠fcd∴∠acf=∠ace∴△acf≌△aec（sas）∴ae=af∴af=ad+df=2ad∴ae=2ad
19、作辅助线专题（一）
a.利用“三线合一”作辅助线。
一、等腰三角形中有底边中点时，常连底边上的中线1、证明：连ad
ab=ac，d为bc中点∴∠ead=∠fad又∵ae=af，ad=ad∴△aed≌△afd(sas)∴de=df二、遇到等腰常作高2、证明：过e作ef⊥ac于f
ae=ec，ef⊥ac∴af=ce∵ac=2ab∴ab=af
又∵ad平分∠bac，ae=ae∴△abe≌△afe（sas）∴∠abe=∠afe=90°∴eb⊥ab
b.作平行线构造等腰三角形。
一、遇到等腰可平移腰构造等腰三角形1、证明：过d作dg∥ae，则∠dgf=∠ecf，∠dfg=∠efc又∵ab=ac∴∠b=∠abc=∠dgb∴db=dg=ce
△dgf≌△ecf（aas）∴df=ef
二、遇到等腰可平移底边构造等腰三角形。
2、证明：过e作ef∥bc，交bd于f，延长de交bc于g∵ab=ac∴∠b=∠c
又∵ef∥bc∴∠afe=∠aef∴ae=af=ad
∠afe+∠aef+∠aed+∠d=180°∵∠aed=∠d
∠def=90°，则∠dgb=90°∴de⊥bc
三、利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形3、证明：在bd上取点m，连am，使得am=ad，则。
amd=∠adm∴∠amb=∠edf
又bd平分∠abc，ef∥bc∴∠abd=∠cbd=∠dfe又am=ad=de∴△abm≌△efd∴ab=ef
20、作辅助线专题（二）
a.用截长补短法构造等腰（等边）三角形。
1、证明：延长bd至e，使得de=cd，连接ce易证：△cde为等边三角形∴cd=de=ce
易证：△acd≌△bce（sas）∴ad=be∴bd+de=ad∴bd+cd=ad
2、证明：∵∠bac=108°，ab=ac∴∠c=∠abc=36°
在bc上取点k，使得dc=ck，连接dk∴∠cdk=∠ckd=72°∴∠bkd=∠bac
又∵bd平分∠abc，bd=bd∴△abd≌△kbd∴ab=kb
bc=bk+kc=ab+cd
b.共顶点的等腰三角形。
1、（1）ac=cd+ce
证明：易证：△abd≌△acd（sas）∴bd=ce又∵ac=bc=bd+cd∴ac=cd+ce（2）ac=ce-cd
证明：易证△bad≌△cae（sas）∴bd=ce∴bd-cd=ce-cd∴bc=ce-cd∴ac=ce-cd2、（1）解：连bn
∠abc=∠dbe
∠abc+∠cbd=∠dbe+∠cbd即∠abd=∠cbe在△abd和△cbe中ab=bc，bd=be
△abd≌△cbe（sas）∴∠dab=∠ecb，ad=ce又∵m、n分别是ad、ce中点∴am=cn
△amb≌△cnb（sas）∴bm=bn,∠abm=∠cbn
∠mbn=∠cbn+∠cbm=∠abm+∠cbn=∠abc=60°∴△bmn为等边三角形∴∠bmn=60°（2）同理可证：bm=bn
mbn=∠abc=90°∴△bmn为等腰直角三角形。
∠bmn=45°（3）证明同（2）
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