数学习题（3）
1.观察下面的点阵图和相应的等式，**其中的规律：
1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式。
2.观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图1中：
共有1 个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3中：共有27个小立方体，其中有19个看得见，8个看不见；……则第6个图中，看不见的小立方体有个。
3.我国宋朝数学家杨辉在他的著作《祥解九章算法》中提出右表，此表揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律。例如：
它只有一项，系数为1；
它有两项，系数分别为1，1；
它有三项，系数分别为1，2，1；
它有四项，系数分别为1，3，3，1；
根据以上规律， 展开式共有五项，系数分别为。
4.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为。
5.仔细观察下列图案，如图（12），并按规律在横线上画出合适的图形。
6.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．
数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．
例如，求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，其中n是正整数．
对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．
如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝．
1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋2n－1）的值，其中 n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋…＋2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
7.如图①，有两个形状完全相同的直角三角形abc和efg叠放在一起（点a与点e重合），已知ac＝8cm，bc＝6cm，∠c＝90°，eg＝4cm，∠egf＝90°，o 是△efg斜边上的中点．
如图②，若整个△efg从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线ab方向平移，在△efg 平移的同时，点p从△efg的顶点g出发，以1cm/s 的速度在直角边gf上向点f运动，当点p到达点f时，点p停止运动，△efg也随之停止平移．设运动时间为x（s），fg的延长线交 ac于h，四边形oahp的面积为y（cm2)（不考虑点p与g、f重合的情况）．
1）当x为何值时，op∥ac ?
2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
3）是否存在某一时刻，使四边形oahp面积与△abc面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456
或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）解：（1）
因为组成此平行四边形的小圆圈共有n 行，每行有[（2n －1）＋1]个，即2n 个，所以组成此平行四边形的小圆圈共有（n×2n）个，即2n2个．
1＋3＋5＋7＋…＋2n－1）＝＝n2 ．…6′
因为组成此正方形的小圆圈共有n 行，每行有n个，所以共有（n×n）个， 即n2 个．
1＋3＋5＋7＋…＋2n－1）＝n×n＝n210′
24．（本小题满分12分）
解：（1）∵rt△efg∽rt△abc ，，
fg＝＝3cm2′
当p为fg的中点时，op∥eg ，eg∥ac ，op∥ac．
x ＝＝3＝1.5（s）．
当x为1.5s时，op∥ac4′
2）在rt△efg 中，由勾股定理得：ef ＝5cm．
eg∥ah ，△efg∽△afh ．
ah＝（ x ＋5），fh＝（x＋56′
过点o作od⊥fp ，垂足为 d ．
点o为ef中点，od＝eg＝2cm．
fp＝3－x ，s四边形oahp ＝s△afh －s△ofp
·ah·fh－·od·fp
·（x＋5）·（x＋5）－×2×（3－x ）
x2＋x＋37′
0＜x＜38′
3）假设存在某一时刻x，使得四边形oahp面积与△abc面积的比为13∶24．
则s四边形oahp＝×s△abc
x2＋x＋3＝××6×810′
6x2＋85x－250＝0
解得 x1＝， x2＝ －舍去）．
0＜x＜3，当x＝（s）时，四边形oahp面积与△abc面积的比为13∶24．……12′
注意引导学生概括“探索规律”的一般步骤：
寻找数量关系；
用代数式表示规律。
验证规律。
等差数列求和，最后项公式推导。
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