三年级奥数第十一讲-奇偶分析。
例1】解析】(2135-1987)÷2=74,那么共有74+1=75个奇数相加，奇数个奇数的和肯定是奇数。
例2】解析】利用奇×偶=偶；偶×奇=偶。
每个加数都是一个奇数乘一个偶数或者一个偶数乘一个奇数，因而都为偶数，它们的和也是偶数．
练习】解析】从第二项起，均是一个偶数乘以一个奇数，一个偶数与一个奇数的乘积必是偶数，任意个偶数相加得偶数，再加上1，那么最后的结果是奇数。
例3】解析】中间的数，是三个连续奇数的平均数。
解】中间的数是15÷3=5，这三个连续奇数是；它们的积是3×5×7=105.
例4】解法一】因为1+2+3＋…＋1999
又因为1000是偶数，1999是奇数．奇数×偶数=偶数．所以，原式的和是偶数．
解法二】因为1999÷2=999……1,所以1～1999的自然数中，有999个偶数，1000个奇数．
因为999个偶数之和一定是偶数．
1000个奇数之和是偶数．
因为偶数＋偶数=偶数．
所以原式之和一定是偶数．
例5】解析】由于奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数。 3是奇数，所以，每个数加上3后，奇偶性与原来相反，也就是说，在3，6，9，12，……中，每一个数与前一个数的奇偶性不同。 这行数的第一个数是奇数，并且是奇偶相间，由此可知，这行数的奇偶性与其序数的奇偶性相同．所以第2011个数是奇数。
评析】由此可以得到以下一条性质：加上(或减去)一个偶数，奇偶性不变，而加上(或减去)一个奇数，奇偶性改变．
例6】解析】不管哪一只茶杯，要从杯底朝上变为杯口朝上必须翻转奇数次，7只茶杯翻转的总次数是7个奇数的和，仍为奇数．而每次翻动，使4个茶杯各翻转1次，不管多少次翻动，7只茶杯翻转次数的总和都是4的倍数，是偶数，奇数不等于偶数，所以不管翻动多少次都不能使这7只茶杯的杯口全部朝上．
例7】解析】每人有基础分15分，每答1道题，分数将增加或减少一个奇数（增加5分、1分或减少1分）．因而答30道题，将增加或减少30个奇数．由于30是偶数，30个奇数相加减，结果必为偶数，但15是奇数，所以每个人的得分是奇数（=15±偶数）,1993个人的得分总和也是奇数．
例8】解析】130人排成一列，按第一次报的数顺次给这130人编上号码．最后留下的这名同学决不是l．否则第一次就被淘汰了，他也不是2×i×5…2×65，否则第二次报数后又要被淘汰．依此类推，不被淘汰的人，号码应为1到130中含因数2最多的数，也就是2×2×2×2×2×2=128。
例9】解析】相邻两个运动员号码数是奇数，那么每个运动员的号码数肯定是奇偶相间。27个数中奇数比偶数多，那么不能满足条件。
例10】解析】a+b与a-b的奇偶性相同，所以(a+b)×(a-b)要么是奇数，要么是4的倍数（不仅仅是2的倍数），而126不是4的倍数，所以不可能符合要求。
附加题】解析】此题单从具体的数来，无从下手．但抓住其操作过程中奇偶变化规律，问题就变得很简单了．如果原来三个数为1，3，5，为三奇数，无论怎样，操作一次后一定为二奇一偶，再往后操作，可能有以下两种情况：一是擦去一奇数，剩下一奇一偶，其和为奇，因此换上去的仍为奇数；二是擦去一偶数，剩下两奇，其和为偶，因此，换上去的仍为偶数．总之，无论怎样操作，总是两奇一偶，而66，88，237是两偶一奇，这就发生矛盾．所以，原来写的不可能为1，3，5．
解析】这1994个自然数中，若第一个数是奇数，则最后一个数是偶数，若第一个数是偶数，则最后一个是奇数，所以无论第一个是什么数，奇数和偶数都一样多，都有1994÷2=997（个），997个偶数相加是和偶数，997个奇数相加和是奇数，奇数+偶数=奇数，所以它们的总和是奇数。
解析】这11个奇数中间的一个数，是这11个数的平均数，即1991÷11=181，第6个数是181，那么最小的数是181-5×2=171.
解析】把这24个偶数前后配对，共12对，每对和都相等，所以每对和是1992÷12=166.中间两个数，也就是第个数的和也是166.所以第12个偶数是（166-2）÷2=82，最大的偶数是82+（24-12）×2=106.
解析】把前后两个看成一堆，中间两个看成一对，两对的和相等，所以每对和是16，第二个书是7， 第三个数是9，第一个数是5，最后一个数是11.
解析】三个连续偶数的和比最小的大14，那么第二个和第三个偶数的和是14，这三个偶数是4，6，8.
解析】3，4，5，6，7，8，9这些数中，偶数与任何数相乘都是偶数，只有奇数与奇数相乘时才得到奇数，那么有3，5，7，9这四个数两两相乘得到的数是奇数，共有6个乘积，都是奇数，6个奇数之和是偶数。那么所有数的和都是偶数。
解析】给每棵树分别编号为.这些数中既有奇数又有偶数，那么三块牌子必定至少有两块牌子对应的树的序号的奇偶性是相同的，如果存在两数的奇偶性相同，那么这两数之差肯定是偶数，这两树之间的距离也是偶数。
解析】不管b是奇数还是偶数，a和c中肯定至少有一个是奇数，那么a－1, c－3中至少有一个是偶数，偶数乘以乘以任何整数都是偶数，所以a－1,b－2，c－3的乘积一定是偶数．
9．某班同学参加学校的数学竞赛，试题共50道．评分标准是：答对一题给3分，不答给1分，答错倒扣1分．请你说明：该班同学得分总和一定是偶数．
解析】该同学每题的得分肯定是个奇数，那么他的总得分就是50个奇数相加减，偶数个奇数相加减结果肯定是偶数，所以每个同学的得分肯定是偶数，任意个偶数相加都是偶数，所以该班同学的得分总和一定是偶数。
解析】把这159名学生编号、…159号，要使第一次不被淘汰，就不能站在……159这些位置上，要使第二次不被淘汰，也不能站在2×1，2×3，2×5……2×79这些位置上。依次类推，要想给老师鲜花，就要站在159内含因数2最多的位置上，即2×2×2×2×2×2×2×=128号位置上。
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