第六讲数图形。
采用鲜艳的颜色，从最简单的视觉角度入手，用心理学的方法让你对数图形感兴趣，并爱上它。
知识要点：同学们，在数图形时，一定要按顺序仔细数，如果给图形编个号，这样数起来就更方便，不会重复，也不会遗漏。
例1｝ 数一数图中共有几个三角形？
这样想： 数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单个三角形号，共3个。再数两个图形合成的三角形，1+2号，2+3号，3+4号，4+1号，按顺序两个两个合并，共4个三角形。
最后数由1+2+3+4号组成的大三角形，有1个。所以3+4+1=8，共8个三角形。
例2｝ 数一数图中有西红柿的正方形有几个？
这样想：先数单个正方形，有西红柿的正方形有1个。再数四个正方形合成的大正方形，有西红柿的大正方形有4个。
最后数由9个小正方形组成的大正方形，有1个。所以1+4+1=6，有西红柿的正方形共6个。
例3｝ 数一数图中共有几个正方形？
这样想：先数单个正方形号，共6个。再数四个正方形合成的大正方形，1+2+4+5号，2+3+5+6号，按顺序四个四个合并，共2个正方形。所以6+2=8，共8个正方形。
例4｝ 数一数图中共有几个正方形？
这样想： 先数小正方形，共4个。再数稍大的正方形，共5个。最后数大正方形，有1个。4+5+1=10，所以图中共有10个正方形。
例5｝ 数一数图中共有几个圆形？
这样想：先数小圆，共5个。再数大圆有1个。图中共有6个圆。
数图形。晚饭过后，妈妈给小小出了一道“试眼力”的题目：数数窗户上一共有多少个正方形。
小小一看，立即回答：“窗户上一共有6个正方形。”妈妈笑了，爸爸在一旁也笑了，小小给弄了个“丈二和尚莫不着头脑”。
小朋友，你知道小小的爸爸妈妈为什么笑吗？小小数得难道不对吗？如果不对，那么窗户上究竟有几个正方形呢？
下面我们就一起来研究数图形的问题。
典型例题。例【6】 下图中有多少条线段？
分析我们把图中的线段ab、bc、cd、de看作是基本线段，那么：由1条基本线段构成的线段有ab、bc、cd、de 4条；
由2条基本线段构成的线段有ac、bd、ce 3条；
由3条基本线段构成的线段有ad、be 2条；
由4条基本线段构成的线段有ae 1条。
另外，我们还可以从线段的两个端点出发去数：
以a为左端点的线段有ab、ac、ad、ae 4条；
以b为左端点的线段有bc、bd、be 3条；
以c为左端点的线段有cd、ce 2条；
以d为左端点的线段有de 1条。
解 4＋3＋2＋1＝10（条）
所以图中有10条线段。
例【7】 下面图形中有几个角？
分析我们把图中的 aob、 boc、 cod看作基本角，那么：
由1个基本角构成的角有 aob、 boc、 cod 3个；
由2个基本角构成的角有 aoc、 bod 2个；
由3个基本角构成的角有 aod 1个。
我们也可以从角的两条边出发来数：
以oa为一边的角有 aob、 aoc、 aod 3个；
以ob为一边的角有 boc、 bod 2个；
以oc为一边的角有 cod 1个。
解 3＋2＋1＝6（个）
所以图中有6个角。
例【8】 下图中共有多少个三角形？
分析我们把图中 abc、 acd、 ade看作基本三角形，那么：
由1个基本三角形构成的三角形有 abc、 acd、 ade；
由2个基本三角形构成的三角形有 abd、 ace；
由3个基本三角形构成的三角形有 abe。
解 3＋2＋1＝6（个）
所以图中有6个三角形。
例【9】 下图中有多少个正方形？
分析我们把最短的一条线段如ab看作基本线段，那么：
边长为1条基本线段的正方形有9个；
边长为2条基本线段的正方形有4个；
边长为3条基本线段的正方形有1个。
解 9＋4＋1＝14（个）
所以图中有14个正方形。
例【10】 数一数图中共有多少个三角形？
分析我们可以将图形分成上面三个部分来数：
在图1中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15（个）三角形；
在图2中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15（个）三角形；
在图3中，一共有5个三角形。
解 15＋15＋5＝35（个）
所以图中一共有35个三角形。
小结要想正确数出图形的个数，关键是从基本图形入手：
1） 弄清楚图形中包含的基本图形是什么，有多少个。
2） 从各图形中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和是多少。
3） 有些图形被分成乐几个部分，可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图形的个数，再求各部分的总和。
课后练习：数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误，在细心的同时还要掌握一定的方法和技巧。
几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、去思考问题的良好习惯，同时提高我们通过观察、思考去探寻事物规律的能力。
要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。
一、数线段。
我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点。线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素。因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的。
例1、数一数，图中有多少条线段？
分析与解：如果我们按照一定的顺序从左往右数，就会发现：
以a点为共同端点的线段有：abacadaeaf5条；
以b点为共同端点的线段有：bcbdbebf4条；
以c点为共同左端点的线段有：cdcecf3条；
以d点为共同左端点的线段有：dedf2条；
以e点为共同左端点的线段有：ef1条；
总数为：5+4+3+2+1=15条。
用图示法表示更为直观明了，如右图。
想一想：①由例1可知，一条线段af上有六个点，就有：总数=5+4+3+2+1条线段。由此猜想如下规律（见右图）：
还可以一直找下去，并且通过实际去按顺序数，经过验证后，能从中得出这样一个结论：当一个图形中包含的所有线段都在同一条直线上时，线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比图形中的总端点数少1.
如果我们把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么线段的总条数也是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见下图）。
是不是存在这样的规律，同学们可以自己再举些例子试试看。
二、数角。例2、数一数，图中共有多少个角？
分析与解：通过观察，我们可以知道，图中包含的所有角都具有o点这一共同端点。如果我们按照一定的顺序数，就会发现：
以射线oa为角的一边的角有：∠aob，∠aoc，∠aod，∠aoe，∠aof共5个；
以射线ob为角的一边的角有：∠boc，∠bod，∠boe，∠bof共4个；（不包括已经数过的∠aob，即数过的不算，下同）
以射线oc为角的一边的角有：∠cod，∠coe，∠cof共3个；
以射线od为角的一边的角有：∠doe，∠dof共2个；
以射线oe为角的一边的角有：∠eof1个。
角的总数：5+4+3+2+1＝15（个）.
数的过程用图示法表示如下：
想一想：①由例2可知：由一点引出6条射线，所组成的角的总数为：5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：（见下图）
由一点引出的两条射线组成1个角：
由一点引出的三条射线组成2+1=3个角：
由一点引出的四条射线组成3+2+1=6个角：
由一点引出的五条射线组成4+3+2+1=10个角：
还可以一直找下去，并且通过实际去按顺序数，经过验证后，能从中得出这样一个结论：角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比图形中射线的总条数少1。
与数线段有类似的地方，即为：如果把相邻两条射线所组成的角叫做基本角，那么角的总数也是从1开始的一串连续自然数之和，而其中最大的自然数等于基本角个数。
注意，例1和例2的情况极其相似。虽然例1是关于线段的，例2是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式。同学们也可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力。
三、数三角形。
例3、数出下面图中三角形的个数。
分析与解：仔细观察图形，我们可以发现，图形中所构成的每个三角形，都有两条边是由a点引出的，而第三条边不**段bc就**段de上，并且通过我们去按顺序数，会发现bc和de上有多少条线段就对应有多少个三角形，这样我们就可以把数三角形问题转化为数线段的问题了。根据例1可知，bc边上的线段有15条，那么，以bc边上的线段作为第三边的三角形就有15个。
同理，de边上的线段也有15条，以de边上的线段作为第三边的三角形也有15个。
所以，图中共有三角形15×2=30（个）
例4、数出下图中三角形的个数。
分析与解：明显地，这个图形不具有例3中三角形的特点，所以例3中的解法不适合此题，为了便于数出三角形的个数，我们可以用分类的方法来数。怎样分类呢？
可以按三角形的构成来进行分类，为了叙述方便，我们把图中三角形编上号码，如图所示。
明显的，由1个三角形构成的三角形有6个。
由2个三角形构成的三角形有2个，即（1，2），（4，5）
由3个三角形构成的有4个，即（1，2，3），（4，5，6），（6，1，2），（3，4，5）
所以，此图中共有三角形：6＋2＋4=12（个）
四、数长方形。
例5、如下图，数一数各图中包含的长方形个数？
分析与解：图（ⅰ）中长方形的个数与ab边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于ab边上线段总条数，即长方形个数为：4+3+2+1=10（个）.
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