第4讲盈亏问题。
教学目标。本讲主要学习三种类型的盈亏问题:
1. 理解掌握条件转型盈亏问题:
2. 理解掌握关系互换性盈亏问题;
3. 理解掌握其他类型的盈亏问题,本节课要求老师首先上学生理解盈亏问题其本公式的含义,在通过例题让学生掌握解答应困问题的其本技巧,培养学生的思维分析能力。
经典精讲。盈亏问题,故名思意有剩下就叫盈,不够分就叫亏,不同的方法分配物品时,经常会产程这种盈亏现象。盈亏问题的关键是专注两次分配时盈亏总量的变化。
我们把盈亏问题分为三类:“一盈一亏”、“两盈”“两亏”。
1.“盈亏”型。
例如:学而思学校四年级基础班的同学分糖果,如果每人分4粒就多9粒,如果每人分5粒则少6粒,问:有多少位同学分多少粒糖果?
分析】由题目条件知道,同学的人数与糖果的粒数不变,比较两种分配方案,第一种没人分4粒就多9粒,,第二种每人分5粒则少6粒,两种不同方案一多一少差9+6=15(粒),相差原理在于两种方案分配数不同,两次分配数之差为15(位),糖果的粒数为:(粒)。
2.“盈盈”型。
例如:老猴子给小猴子分桃,每只小猴10个桃,就多出9个桃,每只小猴分11个桃则多出2个桃,那么一共有多少只小猴子?老猴子一共有多少个桃子?
分析:老猴子的第一种方案盈9个桃子,第二种方案盈2个,所以盈亏综合是9-2=7(个),两次分配之差是11-10-1(个)有盈亏问题公式得,有小猴子:(只),老猴子有7(个)桃子。
3.“亏亏”型。
例如:学而思学校新近一批书,将它们分给几位老师,如果每人发10本,还差9本,每人发9本,还差9本,第二次就只差2本了呢?因为两次分配数量不一样,第一次分配时每人少发一本,也就是共有7(人)书有(本)。
根据以上具体题目的分析,可以得出盈亏问题的基本关系式:
盈+亏)两次分得之差=人数或单位数。
盈-盈)两次分得之差=人数或单位数。
亏-亏)两次分得之差=人数或单位数。
条件转化型的盈亏问题。
这种类型的题目不能直接计算,要将其中的一个条件转化,使之成为普通盈亏问题。
例1】 军队分配宿舍,如果每间住3人,则多出20人;如果每间住6人,余下2人可以每人住一个房间,现在每间住10人,可以空出多少个房间?
分析】每间住6人,余下2人可以每人各住一个房间,说明多出两个房间,同时多出两个人,也就是第二次分配少6(人),那么两次分配方案人数相差20+10=30(人),即可以空出10-50(间)房间。
铺垫】学校给一批新入学分配宿舍。如果每个房间住12人,则34人没有位置;如果每个房间住14人,则空出4个房间。求学生宿舍有多少间,住宿学生有多少人?
分析】把“每个房间住14人,则空出4个房间”转化为“每间住14人,则少14(人)”这样两种方案就可以比较了。
第一种方案多出34人,第二种方案少56人,90(间),学生数为:12(人)
例2]妈妈买来一篮橘子分给全家人,如果其中两人分4个,其余人每人分2个,则多出4个;如果其中一人分6人,其余人每人分4个,则缺少12个,妈妈买来橘子多少个?全加共有多少人?
分析】由“其中两人分4个,其余每人分2个,则多出4个,”转化为全家每人都分2个,这分4个的两人每人都拿出2个,共拿出4个,结果就多了4+4=8个:由“一人分6个,其余每人分4个,则缺少12个”转化为全家每人都分4个,分6个的人拿出2个。结果就少了12-2=10个,转变成了盈亏问题的一半类型,则:
全家的人数:(人)
橘子的个数:(个)
铺垫】实验小学的少先队员去植树。如果每人种5棵还有3棵每人种;如果其中2人各种4棵。其余的人各种6棵,这些树苗正好种完,问有多少少先队员参加植树,一共iozhong多少课树苗?
分析】这是一道较难的盈亏问题,主要难在对第二个已知条件的理解上:如果其中2人各种4棵,其余的人各种6棵,就恰好种完,这组条件中包含着两种种树的情况——2人各种4棵,其余的人各种6棵。如果我们把他们统一成一种情况,让每人种六棵,那么,就可以多种树(6-4)(棵)。
因此,原问题就转化为:如果每人各种5棵树苗,还有3棵没人种;如果每人种6棵数树苗,还缺4棵。问有多少少先队员,一共种多少树苗?
人数:[3+(6-4)] 人),棵树:(棵)或(棵)
小结】盈亏问题必须是将一定数量的物体平均分给固定对象,而本题中两次分橘子均不是每人分别的橘子数相同。碰到此类似情况时,不需将其调整成两次都是平均分,然后解答。
例2】 学校规定上午8时到校,小明去上学,如果每分钟走60米,可提早10分钟到校;如果每分钟走50米,可提早8分钟到校,求小明几时几分离家刚好8时到校?由家到学校的路程是多少?
分析】小明每分钟走60米,可提早10分钟到校,即到校后还可多走60米,如果每分钟走50米,可提早8分钟到校,即到校后还可多走508=400(米),第一种情况比第二种情况每分钟多走60-50=10(米),就可以夺走600-400=200(米),从而可以求出小明由家道校所需时间。
1)10分钟走多少米?(米),2)8分钟走多少米?(米)
3)需要时间:(600-400)(分钟),所以小明7时40分离家刚好8时到校。
4)由家到校的路程:(米)或(米).
铺垫】童童从家到学校,如果每分钟走50 米,上课就要迟到3分钟;如果每分钟60米,就可以比上课时间提前2分钟夺走60-50=10(米),就可以夺走150+120=270(米),童童从家到学校所用时间是:270(分钟),加到学校的距离是:50(米)。
例4】(第二届“华杯赛”试题)有一个半同学去划船。他们计算以下,如果增加一条船,正好每条船作6人;跑如果减少一条船,正好每条船坐6人。如果减少一条船,正好每条船坐9人。
问:这个班共有多少学生。
分析】先增加一条船,那么正好每条船坐6人。然后去掉两条船,就会余下6(名)同学。改为每条船9人,也就是说,每条船增加9-6=3(人),正好可以把余下的12名同学全部安排上去,所以现在还有12(条)船,而全班同学的人数是9(人)。
巩固】增加两条船,正好每条船坐6人,然后去掉四条船,就会余下(人),改为每只船9人 ,即每条船增加9-6=3(人),正好可以把余下的24人全部安排上去,所以现在船数为24(条),这个班的人数为9(人)。
小结】这部分的题目不能直接运用公式计算,首先需要将一定的条件转化,使之成为跟第一步分相似的题型,在运用公式计算。
关系互换型的盈亏问题。
这种题型中会出现两种物品,一半两者之间还存在数量关系,如和差关系、倍数关系等,我们应该先利用数量关系将已知条件转化为一种物品的盈亏关系,再根据盈亏问题的解法计算。
例5】(2004“走进美妙的数学花园”数学邀请赛)
幼儿园老师把一袋糖果分给下朋友。如果分给打扮的小朋友,每人5粒就缺6粒。如果分给小班的小朋友,每人4粒。已知大班比小班少2个小朋友这袋糖果共有多少粒?
分析】如果大班增加2个小朋友,大、小班人数就相等了,变为“每人5粒缺16粒,每人4粒多4粒”的盈亏问题。小班有(人)。这袋糖果有(粒)。
拓展】(2024年湖北省“创新杯”决赛)
四(2)班举行“六一”联欢晚会,辅导员老师带着一笔钱取买糖果。如果买芒果13千克,还差4元;如果买奶糖15千克,则还剩2元。已知每千克芒果比奶糖贵2元,那么,,辅导员老师带了元钱。
分析]这笔钱买了13千克芒果还差4元,若把13千克芒果换成奶糖就会多出13元,所以这笔钱买13千克奶糖会多出26-4=22元。而这笔钱埋15千克奶糖会多出2元,所以每千克奶糖的**为:(22-2)(元)。
辅导老师共带了10(元)
例6】(2004南京市少年数学智力冬令营)
甲、 乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信封与相同数量的信封,甲每封信用2张信纸信纸,乙每封信用3张信纸,一段时间后,甲用完了所有的信封还剩20张信封,乙用完所有信纸还剩下10个信封,则他们每人各买了多少张信纸?
分析】由题意,如果乙用完所有的信封,那么缺30张信纸。这是盈亏问题,盈亏总额为(20+30)张信纸,两次分配的差为(3-2)张信纸,所有的信封(20+30)(个),有信纸)(张)
巩固】甲、乙两人的信纸一样多,信封也一样多,甲写一封信用一张信纸,乙写一封信用3张信纸。结果甲的信封用完时还剩50张信纸,乙的信纸用完时还剩50个信封,原来他们各自有信封多少个?信纸多少张?
分析】乙要想用完剩余的50个信封,还需再多503=150张信纸,也就是要用完同样多的信封,甲多50张信纸,乙少150张信纸。
信封的个数:(个)
信纸的张数:100+50=150(张)
小结】不同的人,相同的物品,假设都用完同样多的信封,这就是“盈亏”的关联点,问题便于解决了。
例7】体育中心将一些乒乓球分给若干人,每人5个还多余10个乒乓球,如果人数增加到3倍,那么每人分2个乒乓球还缺少8个,问有乒乓球多少个?
分析】考虑人数增加3倍后,相当于按原人数每人给(个),每人给5个与给6个,总数相差10+8=18(个),所以原有人数18(人),乒乓球总数是(个)
拓展】卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫,每只大熊猫分5个还多余10棵竹子,如果大熊猫数增加到3倍还少5只大熊猫,那么每只大熊猫分2个还缺8棵竹子,问有大熊猫多少只,竹子多少课?
注意】以上题型中会出现两种物品,一般两者之间还存在数量关系,如和差关系、倍数关系等,我们应该先利用数量关系将已知条件转化为一种物品的盈亏关系,再根据普通盈亏问题的解法计算。
例8】幼儿园阿姨拿来水果糖和奶糖分给小朋友,且水果糖的个数是奶糖的2倍。如果每个小朋友分2个奶糖,就多余4个奶糖;如果每个小朋友分5个水果糖,则少2个水果糖。阿姨拿来了水果糖和奶糖个多少个?
分析】水果糖和奶糖的个数不相等,不能将两者直接比较,如果本题中水果糖和奶糖一样多就好了。所以,我们可以假设水果糖和奶糖一样多,也就是假设奶糖是实际数量的2倍,那么,分给同样多的小朋友后,每个小朋友可以分到22=4个,而多余的奶糖是(个)、分到太奶糖和水果糖相差8+2=10个,原因是每个小朋友多分了5-4=1个,这样就可以求出小朋友的人数,然后根据太烫和水果糖的实际分配情况,分别求出奶糖和水果糖的个数,然后根据奶糖和水果糖的实际分配情况,分别求出奶糖和水果糖的个数,即:
个)小朋友的人数。
三年级奥数盈亏问题
一般地,在盈亏问题中 盈数 亏数 两次差 参加分配的数。1 老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨,就多出12个梨 每只小猴子分7个梨,就少11个梨。有几只小猴子和多少个梨?2 丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。如果每人分3个,多16个 如果每人分5个,那么就差4个。有多少小朋友?有多少个苹果?3 北京...
三年级奥数 盈亏问题
第4讲盈亏问题。教学目标。本讲主要学习三种类型的盈亏问题 1.理解掌握条件转型盈亏问题 2.理解掌握关系互换性盈亏问题 3.理解掌握其他类型的盈亏问题,本节课要求老师首先上学生理解盈亏问题其本公式的含义,在通过例题让学生掌握解答应困问题的其本技巧,培养学生的思维分析能力。经典精讲。盈亏问题,故名思意...
三年级奥数盈亏问题
盈亏问题的基本解法是 盈 亏 两次分配数的差 份数,大盈 小盈 两次分配数的差 份数,大亏 小亏 两次分配数的差 份数,1 小明的妈妈买回一篮梨,分给全家。如果每人分4个,就多出10个 如果每人分6个,就少2个。小明全家有多少人?这篮梨有多少个?2 幼儿园阿姨把一袋糖分给小朋友们,如果每人分9粒糖,...