一、填空题ⅰ
1. 已知。
那么与的差， .
分析】 观察到的最后一项和较相似，所以可以从后往前减：
发现这差又和的倒数第二项较相似，所以可以继续从后往前减，一直减到的第一项，则结果为1.
2. 甲、乙两包糖的重量之比是，如果从甲包取出克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量之比变为，那么两包糖重量的总和是克。
分析】 甲包取出糖放入乙包后两包糖重量和不变。比例从2:1变成7:
5，和分别是3和12，所以统一为12，也就是从8:4变成7:5，所以10克是1份，12份是120克。
3. 某商品按定价**，每个可获利润元，如果按定价的**件，与按定价每个减价元**件所获的利润一样多，那么这种商品每件定价元。
分析】 每个减价25元也就是说每个获利润20元，12件获利润240元。按定价的70%**10件也获利润240元，所以每个获利润24元，比定价少21元。这21元是定价的30%，所以定价是70元。
4. 如图，在角的两边上分别有、、及、、六个点，并且、、、的面积都等于1，则的面积等于 .
分析】 ，所以。
5. 将正整数从开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”，其中2在第1个拐角处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，……那么在第100个拐角处的数是 .
分析】 观察可发现，第个拐角之前有一个的矩形，所以第个拐角处的数等于，第100个拐角处的数为2551。
6. 设，这里，都是正整数，那么的最大值为 .
分析】 只要看里面5的因子个数，因为2的因子个数一定足够多。
101到2009里面共有个数。其中，这里面的后625个一定含有125个5的倍数，25个25的倍数，5个125的倍数和1个625的倍数；前12个中，110和125共含有4个因子5。所以，含有5的因子个数为。
7. 在，，，的所有排列，，，中，满足条件，，，的不同排列的个数是 .
分析】 中一定有1，另一个只能是2或3。
如果是1，2，另外三个数可以任意排列，有种；
如果是1，3，则3的两侧只能放4和5，有种。
所以，共有16种。
二、填空题ⅱ
8. 某天甲、乙两人完成一件工作，计划两人都从早上开始工作，他们将在上午完成；如果甲比原计划晚小时开始工作，乙比甲再晚半小时开始，那么他们将比原计划晚小时分钟完成；如果乙比原计划提前半小时开始工作，甲比乙晚小时开始，那么他们完成工作的时刻是。
分析】 根据题意，甲晚开始1小时，乙晚开始1个半小时，结果晚完成1小时20分钟，也就是说乙10分钟的工作量等于甲20分钟的工作量，乙的工效是甲的2倍。如果乙比原计划提前半小时，而甲相当于比原计划晚半小时，则完成工作的时刻仍然在甲乙之间靠近乙的三等分点处，也就是比原计划提前10分钟，10:50。
9. 已知正整数的八进制表示为，那么在十进帛下，除以的余数与除以的余数之和是 .
分析】 。根据进制的弃法，被7除余6，所以其平方被7除余1；
显然被整除，所以其平方也被整除。
因此两个余数之和为1。
10. 如图，四边形是矩形，、分别是、上的点，且，，与相交于，若矩形的面积为，则与的面积之和为 .
分析】 过做的平行线交于，则，所以，，。
同理，过做的平行线交于，则，所以，，。
所以两三角形面积之和为15。
11. 如图，在加法算式中，八个汉字“清华附中龙班大学”分别代表到中的某个数字，不同的汉字代表不同的数字，使得算式成立，那么四位数“清华附中”的最大值等于 .
分析】 为避免显示不兼容问题，现用拼音首字母代替汉字。
原式为，即。
为了使最大，则前两位先尽量大，最大可能为80。
假设，则继续化简为。
最大为，此时出现重复数字，需要进行调整，符合题意，所以最大值为8075。
12. 设，是两个正整数，它们的最小公倍数是，那么这样的有序正整数对共有组。
分析】 ，所含2的幂的情况可能是；共11种，同理3的幂的情况有7种，11的幂的情况有3种，所以总共有种。
13. 某校人数是一个三位数，平均每个班级人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少人，那么该校人数最多可以达到人。
分析】 设原人数为，则有，即。
从大到小尝试，，所以所求答案为972。
14. 设、为正八边形的相对顶点，顶点处有一只青蛙，除顶点外青蛙可以从正八边形的任一顶点跳到其相邻两个顶点中任一个，落到顶点时青蛙就停止跳动，则青蛙从顶点出发恰好跳次后落到的方法总数为种。
分析】 14. 可以使用递推法。
回到跳到或跳到或跳到或停在。
1步12步 21
3步314步 642
5步1046步 20148
7步3414
8步 684828
9步11648
所以，10步跳到有96种方法。
三、解答题(请写出详细解题过程)：
15. 某工厂接到任务要用甲、乙两种原料生产、两种产品共件，已知每生产一件产品需甲原料千克和乙原料千克；每生产一件产品需甲原料千克和乙原料千克。现在工厂里只有甲原料千克和乙原料千克，那么该工厂利用这些原料，应该生产、两种产品各多少件，才能完成任务？
请求出所有的生产方案。
分析】 设生产产品件，则生产产品件。
需要甲原料千克，需要乙原料千克。为避免原料不够用，则，解得。
16. 如图，在时钟的表盘上任意作个的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数。
并举一个反例说明，作个扇形将不能保证上述结论成立。
分析】 共有12种可能的扇形，每个数恰好被4个扇形覆盖。这12个扇形分为4组，同一组的3个扇形恰好盖住整个表盘。所以，如果去掉3个，则一定还有一组是完整的，这组的3个扇形覆盖整个表盘。
另一方面，如果从12个扇形中去掉4个扇形，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被盖住。
17. 对四位数，若存在质数和正整数，使，且，求这样的四位数的最小值，并说明理由。
分析】 17. 因为，，太大，所以。因为是3的幂，所以四个数字中不能包含3以外的质因子，也就是说只能含有1，3，9。
观察可知恰好有，所以最小的这样的四位数是1399。
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