2024年榆中中考数学原创试题。
1.已知：对于非零的两个实数，定义新运算：
对于任意实数，规定：[,等式右边是通常的乘除法及减法运算，比如1∞2=\\frac=2altimg': w':
583', h': 65'}]
∞\\sqrt的值；\\2)若3∞(x+1)=2求x的值。',altimg': w': 241', h': 52'}]
解：（1）[∞sqrt', altimg': w':
70', h': 29'}]sqrt}\\sqrt}=\frac}=-2\\sqrt', altimg': w':
192', h': 63'}]
=2', altimg': w': 117', h': 44'}]
]=[altimg': w': 16', h': 43'}]
2.在平面直角坐标系中．过一点作x轴的垂线，若与x轴围成三角形的周长与面积相等，则这个点叫做稳定点．例如．图中过点p作x轴的垂线．与x轴围成δpoa的周长与面积相等，则点p是稳定点．
1）判断点m（3，4），n（6，8）是否为和谐点，并说明理由；
2）若稳定点p（a，6）在直线y=﹣x+b（b为常数）上，求a，b 的值．
考点：一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；三角形的面积；勾股定理。
专题：计算题。
解：（1）解：∵[3+4', altimg':
w': 126', h': 39', omath':
232+42+3+4'}]altimg': w': 16', h':
43', omath': 12'}]3×4，[^6+8', altimg': w':
126', h': 39', omath': 262+82+6+8'}]altimg':
w': 16', h': 43', omath':
12'}]6×8
点m不是稳定点，点n是稳定点．
2）解：由题意得：当a＞0时，[^6+a', altimg':
w': 124', h': 39', omath':
2a2+62+6+a'}]altimg': w': 16', h':
43', omath': 12'}]6×a，a=8，点p（a，6）在直线 y=﹣x+b上，代入得：b=14
当a＜0时，[^6-a', altimg': w': 146', h':
40', omath': 2(-a)2+62+6-a'}]altimg': w':
16', h': 43', omath': 12'}]6×(-a)，a=﹣8，点p（a，6）在直线y=﹣x+b上，代入得：
b=﹣2，a=8，b=14或a=﹣8，b=﹣2．
3.如图，在平面直角坐标系中，⊙p的圆心是（5，a）（a＞5），半径为5，函数y=x的图象被⊙p截得的弦ab的长为8，求a的值。
考点：一次函数综合题。
专题：综合题。
解答：解：过p点作pe⊥ab于e，过p点作pc⊥x轴于c，交ab于d，连接po，pa．
ae=['altimg': w': 16', h': 43'}]ab=4，pa=5，pe=3．
pd=3[',altimg': w': 26', h': 29'}]
⊙p的圆心是（5，a），dc=5，a=pd+dc=5+3[',altimg': w': 26', h': 29'}]
4.如图，等边△abc中，ao是∠bac的角平分线，d为ao上一点，以cd为一边且在cd下方作等边△cde，连接be．
求证：△acd≌△bce；
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。
专题：全等三角形。
解：（1）∵△abc与△dce是等边三角形，ac＝bc，dc＝ec，∠acb＝∠dce＝60°，∠acd＋∠dcb＝∠ecb＋∠dcb＝60°，∠acd＝∠bce，△acd≌△bce（sas）；
5. 某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评． a、b、c、d、e 五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50 位同学参与了民主测评．结果如下表所示：
表1 演讲答辩得分表（单位：分） 表2 民主测评票数统计表（单位：张）
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；
民主测评得分＝“好”票数× 2 分＋“较好”票数× 1 分＋“一般”票数× 0 分；
综合得分＝演讲答辩得分×（ 1－a）＋民主测评得分× a（0．5≤a≤0．8）．
当a＝0．6 时，甲的综合得分是多少？
a在什么范围时，甲的综合得分高？ a 在什么范围时，乙的综合得分高？
考点：加权平均数。
专题：统计。
解：（1）甲的演讲答辩得分=[=92', altimg': w':
145', h': 43'}]分），民主测评得分=40×2+7×1+3×0=87（分），当a=0.6时，甲的综合得分=92（1-0.
6）+87×0.6=36.8+52.
2=89（分）。
2）乙的演讲答辩得分=[=89', altimg': w': 147', h':
43'}]分），乙的民主测评得分=42×2+4×1+4×0=88（分），[甲的综合得分=92（1-a）+87a,乙的综合得分=89（1-a）+88a,当92（1-a）+87a>89（1-a）+88a时，即有a<0.75.又，0.
75时，甲的综合得分高。 当92（1-a）+87a<89（1-a）+88a时，即有a>0.75.
又，0.75<时，乙的综合得分高。
6.如图，抛物线与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，连接bc、ac。
1）求ab和oc的长；
2）点e从点a出发，沿x轴向点b运动（点e与点a、b不重合）。过点e作直线l平行bc，交ac于点d。设ae的长为m，△ade的面积为s，求s关于m的函数关系式。
考点：二次函数与一元二次方程的关系及利用相似求二次函数解析式。
专题：二次函数。
令x = 0，得y = 9， 点c（0，—9）
，2）， l∥bc，]
△ade∽△acb， ，即。
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