3.（原创题·11分）如图，ab是⊙o的直径，点c在ab的延长线上，且bc＝bo，d是⊙o上一动点且在ab的上方，以cd为边在cd的下方作正方形cdfe，df和直径ab交于点g，连接fo，do，ad，延长fo交ad于h.
1）如图1，当df经过点o时，求∠acd的度数；
2）如图2，若点g恰好是ob的中点，①求证：△ogd∽△odc；②求tan∠dab的值。
答案及评分标准：
解（1）∵四边形cdfe是正方形1分。
2分） 在中3分）
2）①∵g是ob的中点，且ob=od
∴，即4分）
又∵，即5分）
6分） ② 方法一：
连接bd、bf、hg（如图2）
即。∵四边形cdfe是正方形 ∴ 即………7分）
又四边形bdof是平行四边形。
∵为⊙o的直径 ∴ 即………8分）
∵ oh∥bd，o为ab中点 ∴是的中位线 ∴，dh=ah
设，则9分）
即。∴为的中位线。
为的垂直平分线
10分）∴ 在中11分）
4.△abc中，∠b=30°，∠c=90°,点d是ab边上一动点，e是线段bd的中点，在ac、bc边上分别取点p、q，使ap=eq=ed,延长eq ,过点c作cf⊥eq于f,**段ef上取点g,使∠gdp=60°.
1）求证：△dgp为等边三角形；
2）当点g、q重合时，填空：①四边形egpd的形状为不必说明理由）；
3）若ac=2，设ad=x, △dgp周长为y, 当x为多少时，y有最大值与最小值？求出y的最大值与最小值。
解答：（1）证明：∵∠b=30°，∠c=90°∴∠a=60°；
又∵∠b=30°，eq=eb,∴∠ged=60°；
∠gdp=60°∴∠gdp=∠a
∠edp是△adp的外角，∠edp=∠2+∠a,即∠1+∠gdp=∠2+∠a
在△edg与△apd中，∠1=∠2，ap=ed, ∠ged=∠a
△edg≌△apd（asa2分。
dg=dp .已知∠gdp=60°，△dgp为等边三角形3分。
2）①菱形；②…5分。
3）作dn⊥ac于n,ad=x,∠a=60°，∴an=，dn=x,
rt△acb 中，∠b=30°，ac=2，∴ab=4;
e是bd的中点，∴de=ap= (4-x)=2-; 6分。
pn=∣ap-an∣=∣2- -2- x∣……7分。
由勾股定理得：dp2=dn2+pn2，即dp2=（x）2+∣2-x∣2=x2-4x+4……8分。
作ac、ef的延长线交于点h,∠a=∠def=60°∴△aeh为等边△，eh=ae=ah=ad+de=x+2-=2+，ch=ah-ac=2+-2=
又∵∠h=60° ∴fh=ch=，ef=eh-fh=2+- 2+
又∵△edg≌△apd ∴eg=ad=x，由题意：0≤eg≤ef，即0≤x≤2+，解得：0≤x≤①；
又∵0≤ap≤ac 即0≤2-≤2解得：0≤x≤4②；
综合①②，得：0≤x≤；…9分。
dp2=x2-4x+4（0≤x≤）
显然，当dp2取得最小值时，必有dp的值最小，此时等边△dgp周长最小，设y= dp2
则y=x2-4x+4（0≤x≤），其图像是一段开口向上的抛物线，当x=时，y最小=; 此时y最小=3×=…10分。
当x=0时，y=4； 当x=时，y =；
∵4＜, 当x=时，y最大 =；此时y最大=3×=2.……11分。
答：当x=时，y最小=；当x=时， y最大=2.
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