1．某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记作甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记作a、b）。按照生产工艺的要求，原材料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产a、b。已知原料甲、乙、丙、丁的硫含量分别是%，进货**分别是6,16,10,15（千元/t）；产品a、b的含硫量分别不能超过2.
5%，1.5%，售价分别为9,15（千元/t）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的**没有限制，原料丁的**量为50t；产品a、b的市场需求量分别为100t，200t，问应如何安排生产？
解：设y1、z1分别是产品a中来自混合池和原料丙的吨数，y2、z2分别是产品b中来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲、乙、丁所占比例分别为x1、x2、x4。优化目标是总利润最大，即。
max z = 9-6x1-16x2-15x4)y1+(15-6x1-16x2-15x4)y2+(9-10)z1+(15-10)z2
约束条件为：
原料最大**量限制：x4(y1+y2)<=50
产品最大需求量限制：y1+z1<=100, y2+z2<=200
产品最大含硫量限制：
对产品a：，即 (3x1+x2+x4-2.5)y1-0.5z1<= 0
对产品b：，即 (3x1+x2+x4-1.5)y2+0.5z2<= 0
其它限制：x1+x2+x4=1，x1、x2、x4、y1、z1、y2、z2>=0
2．一个木材公司有很大的仓库用于储运**木材。由于木材季度**的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内**，一部分储存起来以后**。已知该公司仓库的最大储存量为1500万立方米，储存费用为（7+10t）万元/千立方米，t为存储时间（季度数）。
其相关数据见表1，由于木材不宜久储，所以库存木材应于每年秋末售完。求售后利润最大。
表1一个木材储运公司有很大的仓库用以储运**木材。由于木材季度**的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内**，一部分储存起来以后**。已知该公司仓库的最大储存量为2000万米3，储存费用为（70+100u）千元/万米3，u为存储时间（季度数）。
已知每季度的买进卖出价及预计的销售量如下表所示。
由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完。为使售后利润最大，试建立这个问题的线性规划模型。
设yi分别表示冬、春、夏、秋四个季度采购的木材数，xij代表第i季度采购的用于第j季度销售的木材数。
3．设商店有甲、乙、丙三种糖果，单价分别为 4元/kg ，2.80元/kg 和 2.40元/kg。
今要筹办一次节日茶话会，要求用于买糖的钱数不超过 20元，糖的总量不少于 6kg ，甲、乙两种糖的总和不少于 3kg 。问：应如何确定最好的买糖方案？
解：设甲为x1 kg, 乙 x2 kg, 丙 x3 kg 。用于买糖所花的钱为y1, 总斤数为y2
min y1 = 4x1+2.8x2+2.4x3;
max y2 = x1+x2+x3;
4x1+2.8x2+2.4x3 <=20
x1+x2+x3 <=6
x1+x2 <=3
x1,x2,x3 >=0
4．某公司网络配送问题。某公司在两个工厂生产某种产品。现在收到三个顾客的下个月定单要购买这种产品。
这些产品会被单独运送，表 2显示了从每个工厂到每个顾客的运送一个产品的成本。该表同样表明了每个顾客的订货量和每个工厂的生产量。现在公司的物流经理要决定从每个工厂运送多少个产品到每个顾客那里才能使总成本最小？
表2解：由于“总产量（27）＝总订货量（27）”，所以本问题是一个平衡运输问题。
1）决策变量。
本问题的决策为从每个工厂运送多少个产品到每个顾客那里。设：xi-j为从工厂i运输到顾客j的产品数量（i＝f1,f2; j=c1,c2,c3)
2）目标函数。
本问题的目标是使得公司总运输成本最低。
3）约束条件。
① 从工厂运送出去的产品数量等于其产量。
② 顾客收到的产品数量等于其订货量。
③ 非负。数学模型（线性规划模型）
5．某工厂生产甲、乙、丙三种产品，都要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，也可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。有关情况的数据如表3所示。
问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸件由本公司铸造和由外包协作各应多少件？
表3 自行生产或外包的有关数据。
设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种。
产品的件数，x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。
求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和。
产品甲全部自制的利润23-(3+2+3)=15
产品甲铸造外协，其余自制的利润 =23-(5+2+3)=13
产品乙全部自制的利润18-(5+1+2)=10
产品乙铸造外协，其余自制的利润 =18-(6+1+2)=9
产品丙的利润16-(4+3+2)=7
可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 元。
通过以上分析，可建立如下的数学模型：
目标函数： max 15x1 + 10x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5
约束条件： 5x1 + 10x2 + 7x3 ≤ 8000
6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 ≤ 12000
3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 ≤ 10000
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
6．投资组合优化问题。某公司董事会决定将20万现金进行债券投资。经咨询，现有五种债券是较好的投资对象，它们是：
黄河汽车，长江汽车，华南电器，西南电器，缜山纸业。它们的投资回报率如表4所示。为减少风险，董事会要求，对汽车业的投资不得超过12万，对电器业的投资不得超过8万，其中对长江汽车业的投资不得超过对汽车业投资的65%，对纸业的投资不得低于对汽车业投资的20%。
该公司应如何投资，才能在满足董事会要求的前提下使得总回报额最大？
表4 投资回报率。
解：1）决策变量。
本问题的决策变量是对五种投资对象的投资额。设：该公司对五种债券的投资额分别为x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，x5（万元）。
2）目标函数。
本问题的目标是使得公司总回报额最大。
3）约束条件。
1 总投资额为20万现金
2 汽车业的投资不得超过12万
3 电器业的投资不得超过8万
4 对长江汽车的投资不得超过对汽车业投资的65%
5 对纸业的投资不得低于对汽车业投资的20%
6 非负。数学模型（线性规划模型）
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