1.某制药厂在计划期内要安排生产ⅰ、ⅱ两种药品，这些药品分别需要在四种不同的设备上加工．按工艺规定，每千克药品ⅰ和ⅱ在各台设备上所需要的加工台时数如表1．已知各设备在计划期内有效台时数（1台设备工作1小时称为1台时）分别是和12．该制药厂每生产1千克药品ⅰ可得利润200元，每生产1千克药品ⅱ可得利润300元．
表1两种药品每千克在各台设备上所需的加工台时数。
1）问应如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？分别利用软件和最终单纯型表回答剩余问题。
解设，分别表示在计划期内药品ⅰ和ⅱ的产量（千克），表示这个期间的制药厂利润．则计划期内生产ⅰ、ⅱ两种药品的利润总额为（元）．但是生产ⅰ、ⅱ两种药品在设备上的加工台时数必须满足；在设备上的加工台时数必须满足；在设备上的加工台时数必须满足；在设备上的加工台时数必须满足；生产ⅰ、ⅱ两种药品的数量应是非负的数，即．于是上述的问题归结为：
目标函数 约束条件
单纯型法求解：
首先将线性规划问题标准化，即在约束条件中引入松弛变量、、、则标准化后的线性规划模型为：
此时约束方程组已为典型方程组，根据上述线性规划模型可以列出初始单纯形表（表2-4）：
表2-4 单纯形法求解例2-1（1）
表2-4中： 为典型方程组中变量的系数，为规划**现的变量，为变量在目标函数中的系数，为基本变量，为基本变量在目标函数中的系数，为典型方程组右端常数项（非负值），为确定出基变量的商值， （为变量的检验数，， 为此时目标函数值，．
根据初始单纯形表可以看出：
初始基本可行解是，，，
此时目标函数值＝0
检验数＝200－＝200
==＝0（基本变量的检验数总等于零）
由于，，所以初始基本可行解非最优解．又由于，所以确定为进基变量．
进一步求最小值：
即从第4个方程中算出的商值最小，而第4个方程中的基本变量是，于是为出基变量．表中给第4个约束方程中的系数4加上方括号以突出其为枢元．
接下去的工作是将取代，表2-4中的约束方程化为以、、和为基本变量，和为非基本变量的典型方程，以便求出新的基本可行解．从表2-4中可以看到，只需对方程组实行初等变换，使枢元位置变成1，而枢列中的其它元素变为零（即以枢元为中心的初等变换）就可以了．
此处可先将第4个方程除以4，使枢元位置变成1；然后用新得到的第4个方程乘以（-2）后分别加到第1个和第2个方程上，使枢列中的第1个和第二个方程所在位变为零．这样我们可以得到新的单纯形表（表2-5）．
表2-5给出的新的基本可行解是＝0，＝3，＝6，＝2，＝16，＝0
此时目标函数值＝900
检验数＝200-＝200
0（基本变量的检验数总等于零）
表2-5 单纯形法求解例2-1（2）
由于，所以此时基本可行解非最优解，确定为进基变量．
进一步计算最小值：
即从第2个方程中算出的商值最小，而第2个方程中的基本变量是，于是为出基变量．
接着进行第二次迭代，将取代，表2-5中的约束方程化为以、、和为基本变量，和为非基本变量的典型方程，以便求出新的单纯形表．重复单纯形法计算第2 步～第5步，一直到没有新的非基本变量可以改善目标函数为止（见表2-6和表2-7）．
表2-6 单纯形法求解例2-1（3）
表2-7 单纯形法求解例2-1（4）
表2-7中：
目标函数值=1400
检验数=0-=-150
0（基本变量的检验数总等于零）
由于，，所以此基本可行解，，，即为最优解，最优值为z*＝1400．与前面**法求解结果一致．为了加深对单纯形法基本思想的理解，不妨将表2-4、表2-5、表2-6、表2-7和图2-1进行对照，可以发现表2-4给出的基本可行解对应于图中可行域顶点0，表2-5给出的基本可行解对应于顶点，表2-6给出的基本可行解对应于顶点，表2-7给出的最优解对应于顶点．线性规划问题有无穷多个可行解，应用单纯形法可以高效率地求解此类问题．
2）药品ⅱ的**在什么范围内变动，不影响原来的生产计划安排，但制药厂收益变化了．
设基本变量在目标函数中的系数变化了；这时表2-7的最终计算表便成为表2-16所示．
表2-16 基本变量利润系数变化的灵敏度分析。
这时要保持最优解不变，则必须满足下列不等式：
即可在[0,400]间变动，不影响原来的生产计划安排，但制药厂收益变化了．
3）设备c在计划期内有效台时数在什么范围内变动时，原来最优解的基本变量不变，但最优解的值发生变化．
第三个约束条件发生变化，变化量为，为了使最后的解仍为可行解，应满足下列不等式：
所以在[－8,0]之间变动时（即的变化范围在[8,16]时），原来最优解的基本变量不变，但最优解的值发生变化．例如，为－2时（即＝14），则。
最优解*＝，最优值*＝1375，见表2-17．
表2-17 右端常数变化后的最优解。
如果的变化超出了[－8,0]的范围，这时最优解的基本变量就发生变化．在这种情况下要用对偶单纯形法继续求出新的最优解．
例如为2时（即＝18），则。
则最终单纯形表变为表2-18．
表2-18 右端常数变化后的对偶单纯形法求解。
新的最优解*＝，最优值z*＝1400．
4）若计划生产的药品ⅰ的工艺结构有了改进，相应地生产单位药品ⅰ所需设备的台时改为（3,2,5,2），它的利润也提高到每千克400元．试分析已求得的最优计划有何变化？
解当的系数列向量变化后，原最终单纯形表（表2-7）中的系数列向量变成：
原最终单纯形表变成表2-19：
表2-19 决策变量系数改变对最优解的影响（1）
由的系数列向量可知，到此尚未完成行变换，所以需继续使的系数列向量变成单位列向量，于是得到表2-20．
表2-20 决策变量系数改变对最优解的影响（2）
因为0，所以新的最优解，最优值*＝1520元。
5）设该制药厂除生产药品ⅰ、ⅱ以外，还有第三种药品可供选择．生产药品ⅲ每千克需要使用设备的台时分别为3，2，6，3；每千克可得利润500元．问该制药厂的计划中要不要安排这种药品的生产，若要安排，应当生产多少？
解设表示计划期内生产药品ⅲ的数量（单位为千克），则原最终单纯形表（表2-7）中增加了一列，这新的一列为：
将新增一列列入原最终单纯形表中，计算检验数，见表2-21．由于此时相应的检验数为正值，所以此单纯形表给出的基本可行解不是最优解，继续用单纯形法求解结果，最后得最优解，最优值*＝1650元，比原计划增加了利润250元．
表2-21 增加变量的灵敏度分析。
6）若制药厂为了提高药品质量，考虑给药品ⅰ、ⅱ增加一道精加工工序，并在设备上进行．ⅰ、两种药品分别需要的加工台时数为（2，2.4）．已知设备的计划工作时间为12个台时，试问增加一道精加工工序后，对原计划有何影响？
解上述问题相当于在原问题的基础上增加了一个约束条件。
设为新增的松弛变量，则得到。
原最终单纯形表（表2-7）新增一行和一列，见表2-22．此时原最终单纯形表中的和的系数列向量不再是单位向量了，所以继续进行行变换．在行变换后得到的新单纯形表中，检验数均小于等于零，但右端项出现负值，所以可用对偶单纯形法继续运算．最后得最优解，最优值*＝1350元．
表2-22 增加约束条件的灵敏度分析。
2. 某医院有一批长度为15分米的胶皮管原料．为了作输液管、止血带和听诊器胶管，需要截成长度分别为5.7分米，4.
2分米和3.1分米的短管各100根，100根和200根．试问应如何安排截法，所用的胶管原材的总根数最少，而且每根料头不能超过2分米？
解先分析一下截取短管的方法．如果先考虑尽输液管截，然后考虑尽止血带截，再考虑尽听诊器胶管截，则截取的方法如下表2-23：
表2-23 短管截取方法。
《运筹学》复习例题
线性规划的 单纯形法。一工厂生产a b c三种产品所需的劳力分别为 和5个工作日单位，所消耗的原材料分别为 和5kg，各单位产品的收益分别为 和5元，工厂每日能提供的劳力数为100人，材料量为80kg。问该工厂应如何安排生产才能使总的收益达到最大。1 建立线性规划的数学模型 2 用 单纯形法求解 3...
运筹学例题
例 1 20 生产计划问题 某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如表1 45所示，若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存储费0.2万元，现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低。试建立线性规划模型。表1 45例 1 ...
运筹学例题
一 绪论 例。一个班级的学生共计选修a b c d e f六门课程，其中一部分人同时选修d c a，一部分人同时选修b c f，一部分人同时选修b e，还有一部分人同时选修a b，期终考试要求每天考一门课，六天内考完，为了减轻学生负担，要求每人都不连续参加考试，试设计一个考试日程表。二 法。例1.某...