2024年度第一学期高一数学期中考模拟试卷（1）
一、填空题：（每题3分，共30分）
1．集合的所有子集的个数是。
2．不等式的解集是。
3．右图中的阴影部分用集合表示为 ；
4．命题“若，则”的逆命题是。
5．的解集是。
6．若不等式的解集为，则实数；
7． 二次函数的部分对应值如表所示；
则不等式的解集是。
8．已知，则的最小值是。
9．定义为集合的“长度”。已知集合，那么集合的“长度”是。
10．命题甲：集合至多只有一个真子集；命题乙：关于的不等式的解集为．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是。
二、选择题：（每题3分，共12分）
11．已知集合，则下列表述正确的是（ ）
ab） （cd）
12．“”是“”的（ ）条件。
a）充分非必要 （b）必要非充分 （c）充要 （d）非充分非必要。
13．若，则下列不等式中：①；
正确的不等式有（ ）
a）个b）个c）个d）个。
14．若不等式对一切成立，则的最小值为（ ）
abcd）三、解答题：
15．（本题满分8分）
已知集合，，若，求实数的取值组成的集合。
16．（本题满分8分）
已知，求证：。
17．（本题满分10分）
设，，，求的值和集合。
18．（本小题满分10分）
设集合，。1）求集合；
2）若，求实数的取值范围。
19．（本题满分10分）
某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为(单位：)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积．
1）试用表示，并求出的取值范围；
2）问为多少(精确到) 时用料最省？
20． （本题满分12分）
1）若关于的不等式的解集中含，试确定的范围；
2）若（1）中不等式的解集，且关于方程有大于的实根，求实数的取值范围。
2024年度第一学期高一数学期中考模拟试卷（1）
一、填空题：（每题3分，共30分）
1．集合的所有子集的个数是。
2．不等式的解集是。
3．右图中的阴影部分用集合表示为 ；
4．命题“若，则”的逆命题是 ；“若，则”。
5．的解集是。
6．若不等式的解集为，则实数；
7． 二次函数的部分对应值如表所示；
则不等式的解集是。
8．已知，则的最小值是。
9．定义为集合的“长度”。已知集合，那么集合的“长度”是。
10．命题甲：集合至多只有一个真子集；命题乙：关于的不等式的解集为．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数的取值范围是。
二、选择题：（每题3分，共12分）
11．已知集合，则下列表述正确的是（ ）
ab） （cd）
12．“”是“”的（ ）条件。
a）充分非必要 （b）必要非充分 （c）充要 （d）非充分非必要。
13．若，则下列不等式中：①；
正确的不等式有（ ）
a）个b）个c）个d）个。
14．若不等式对一切成立，则的最小值为（ ）
abcd）三、解答题：
15．（本题满分8分）
已知集合，，若，求实数的取值组成的集合。
解：若，则┅┅┅
当，则，显然。
当，则，，
得或，即或┅┅┅
实数的取值组成的集合为┅┅┅
16．（本题满分8分）
已知，求证：。
证明：当时，┅┅
当时，┅┅17．（本题满分10分）
设，，，求的值和集合。
解：由题设知，可令，，┅
则且，所以；┅┅
且，所以，┅┅
所以┅┅┅或由），得┅┅┅
18．（本小题满分10分）
设集合，。1）求集合；
2）若，求实数的取值范围。
解：（1）由已知得┅┅┅
2）若， 则，即┅┅┅
若，由补集思想知。
或画出数轴，由得，┅┅
19．（本题满分10分）
某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为(单位：)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积．
1）试用表示，并求出的取值范围；
2）问为多少(精确到) 时用料最省？
解(1) 由框架总面积为8 得：
由得┅┅┅2） 用料=┅┅
当且仅当：即时取到等号。
当时，用料最省。┅┅
20． （本题满分12分）
1）若关于的不等式的解集中含，试确定的范围；
2）若（1）中不等式的解集，且关于方程有大于的实根，求实数的取值范围。
解： （1）适合不等式，得，解出。┅┅
2）两边同乘以，化简得。
当时，解集；┅┅
当时，解集。
当时，解集。┅┅
故，解出（符合）。┅
即关于方程有大于的实根。
若两根均大于时，可设两根为且，则与矛盾，所以不能两根均大于；┅┅
即方程有且仅有一个根大于，故，即，解得。
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