小波分析在图像处理中的应用
摘要。介绍了图像小波分析的基本理论和基于小波变换的分解与重构原理，利用小波变换对二维图像进行分解，将原始图像分解成不同方向、不同频率成分的子图像。同时对含噪声图像进行小波分解。
通过选取适当的阈值，对小波分解系数进行阈值量化，再对高低频系数重构，实现图像的去噪。最后运用matlab**平台进行**验证，**结果表明：利用小波分析对图像进行压缩和去噪可以得到非常好的压缩效果和去噪效果。
对工程应用具有一定的借鉴意义。
关键字：小波；图像压缩；图像去噪。
小波分析(w**elet analysis)即小波变换是80年代中期发展起来的一门新兴的数学理论和方法，它被认为是傅立叶分析方法的突破性进展，它具有许多优良的特性。小波变换的基本思想类似于fourier变换，就是用信号在一族基函数张成的空间上的投影表征该信号。经典的fourier变换把信号按三角正、余弦基展开，将任意函数表示为具有不同频率的谐波函数的线性迭加，能较好地刻划信号的频率特性，但它在时空域上无任何分辨，不能作局部分析，这在理论和应用上都带来了许多不便。
小波分析优于傅立叶之处在于，小波分析在时域和频域同时具有良好的局部化性质，因为小波函数是紧支集，而三角正、余弦的区间是无穷区间，所以小波变换可以对高频成分采用逐渐精细的时域或空间域取代步长，从而可以聚焦到对象的任意细节。因此，小波变换被誉为分析信号的显微镜，傅立叶分析发展史上的一个新的里程碑。
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在，它已经在科技信息领域取得了令人瞩目的成就。现在，对性质随时间稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。
但在实际应用中，绝大多数信号是非稳定的，小波分析正是适用于非稳定信号的处理工具。图像处理是针对性很强的技术，根据不同应用、不同要求需要采用不同的处理方法。采用的方法是综合各学科较先进的成果而成的，如数学、物理学、心理学、信号分析学、计算机学、和系统工程等。
计算机图像处理主要采用两大类方法：一类是空域中的处理，即在图像空间中对图像进行各种处理；另一类是把空间与图像经过变换，如傅立叶变换，变到频率域，在频率域中进行各种处理，然后在变回到图像的空间域，形成处理后的图像。图像处理是“信息处理”的一个方面，这一观点现在已经为人所熟知。
它可以进一步细分为多个研究方向：**处理、图像处理、模式识别、景物分析、图像理解、光学处理等等。小波分析用在图像处理方面，主要是用来进行图像压缩、图像去噪、图像增强(包括图像钝化和图像锐化)、图像融合、图像分解。
于2023年提出一种正交函数系，定义如下：
这是一种最简单的正交小波，即。
该小波是daubechies从两尺度方程系数出发设计出来的离散正交小波。一般简写为dbn，n是小波的阶数。小波和尺度函数吁中的支撑区为2n-1。
的消失矩为n。除n＝1外(haar小波)，dbn不具对称性〔即非线性相位〕；dbn没有显式表达式(除n＝1外)。但的传递函数的模的平方有显式表达式。
假设，其中，为二项式的系数，则有。
其中 biorthogonal函数系的主要特征体现在具有线性相位性，它主要应用在信号与图像的重构中。通常的用法是采用一个函数进行分解，用另外一个小波函数进行重构。biorthogonal函数系通常表示为的形式：
nr=1 nd=1，3，5
nr=2 nd=2，4，6，8
nr=3 nd=1，3，5，7，9
nr=4 nd=4
nr=5 nd=5
nr=6 nd=8
其中，r表示重构，d表示分解。
coiflet函数也是由daubechies构造的一个小波函数，它具有coifn（n=1，2，3，4，5）这一系列，coiflet具有比dbn更好的对称性。从支撑长度的角度看，coifn具有和db3n及sym3n相同的支撑长度；从消失矩的数目来看，coifn具有和db2n及sym2n相同的消失矩数目。
symlets函数系是由daubechies提出的近似对称的小波函数，它是对db函数的一种改进。symlets函数系通常表示为symn（n=2，3，…，8）的形式。
mexican hat函数为2.4)
它是gauss函数的二阶导数，因为它像墨西哥帽的截面，所以有时称这个函数为墨西哥帽函数。墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足。
由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。
meyer小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。
其中，为构造meyer小波的辅助函数，且有。
通常所说的图像压缩主要指无损压缩（无失真）和有损压缩（有失真）两大类。所谓无损压缩是指图像数据经压缩后可以完全得到复原，复原后的图像与原始图像完全一致。有损压缩则是指经它处理的数据在基本保持原图像的特征的前提下，不可避免地要丢掉一部分原始图像信息。
图像能够进行压缩的主要原因是：（1）原始图像信息存在着很大的冗余度，数据之间存在着相关性，如相邻像素之间色彩的相关性等，消息中这些冗余信息将会产生额外的编码。如果去掉冗余信息，就会减少消息所占的空间。
（2）在美图系统的应用领域中，人眼作为图像信息的接收端，其视觉对于边缘急剧变化不敏感（视觉掩盖效应），以及人眼对图像的亮度信息敏感，而对颜色分辨率弱等，因此在高压缩比的情况下，解压缩后的图像信号仍比较满意。
基于上述两点，无论采用无损压缩还是有损压缩。只要损失的数据不太影响人眼主观接受的效果，即可采用。一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。
高分辨率（即高频）子图像上大部分分点的数值都接近于0，越是高频这种现象越明显。对一个图像来说，表现一个图像最主要的部分是低频部分，所以一个最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频部分而只保留低频部分。
whos”用于显示当前matlab工作空间的变量，而在命令窗口中输入data后，将显示该数据。变量查询函数who与whos，作用都是列出在matlab工作空间中已经驻留的变量名清单，不同的是whos在给出驻留变量的同时，还给出他们的维数及性质。
w**edec2是多尺度二维小波分解，调用格式为：
c,l] =w**edec2(x,n,'wname')
即对信号x进行n尺度的小波分解，’wname’ 为所使用的小波名称。n为正整数。输出分解结构包括行向量c，它包含计算出的小波变换系数及定义了c中系数的排列的记录矩阵l。
c的组织形式是[a(n)|h(n)|v(n)|d(n)|h(n-1) |h(1)|v(1)|d(1)]，其中a、h、v及d分别表示逼近系数、水平系数、垂直系数及对角系数，小括号中数字的含义如h(n)表示第n次分解的水平系数。l由两列组成，每一列对应相应的系数矩阵的大小。
图 3-1 图像压缩流程图。
噪声可以理解为妨碍人的视觉器官或系统传感器对所接收图像源进行理解或分析的各种因素。一般噪声是不可**的随机信号，它只能用概率统计的方法去认识，。噪声对图像处理十分重要，它影响图像处理的输入、采集、处理的各个环节以及输出结果的全过程。
特别是图像的输入、采集的噪声是个十分关键的问题，若输入伴有较大噪声，必然影响处理全过程及输出结果。因此一个良好的图像处理系统，不论是模拟处理还是计算机处理无不把减少最前一级的噪声作为主攻目标。去噪已成为图像处理中极其重要的步骤。
对二维图像信号的去噪方法同样适用于一维信号，尤其是对于几何图像更适合。二维模型可以表述为。
i,j=0,1,…，m-1
其中，e是标准偏差不变的高斯白噪声。二维信号用二维小波分析的去噪步骤有3步：
1）二维信号的小波分解。选择一个小波和小波分解的层次n，然后计算信号s到第n层的分解。
2）对高频系数进行阈值量化。对于从1到n的每一层，选择一个阈值，并对这一层的高频系数进行软阈值量化处理。
3）二维小波的重构。根据小波分解的第n层的低频系数和经过修改的从第一层到第n层的各层高频系数计算二维信号的小波重构。
在这3个步骤中，重点是如何选取阈值和阈值的量化。
ddencmp的调用格式有以下三种：
1）[thr,sorh,keepapp,crit]=ddencmp(in1,in2,x)
2）[thr,sorh,keepapp,crit]=ddencmp(in1,'wp',x)
3）[thr,sorh,keepapp,crit]=ddencmp(in1,'wv',x)
函数ddencmp用于获取信号在消噪或压缩过程中的默认阈值。输入参数x为一维或二维信号；in1取值为'den'或'cmp'，'den'表示进行去噪，'cmp'表示进行压缩；in2取值为'wv'或'wp'，wv表示选择小波，wp表示选择小波包。返回值thr是返回的阈值；sorh是软阈值或硬阈值选择参数；keepapp表示保存低频信号；crit是熵名（只在选择小波包时使用）。
wdencmp用于一维或二维信号的消噪或压缩。其调用格式为：
1.[xc,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp('gbl',x,'wname',n,thr,sorh,keepapp)
2.[xc,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp('lvd',x,'wname',n,thr,sorh)
3.[xc,cxc,lxc,perf0,perfl2]=wdencmp('lvd',c,l,'wname',n,thr,sorh)
wname是所用的小波函数，gbl(global的缩写)表示每层都采用同一个阈值进行处理，lvd表示每层用不同的阈值进行处理，n表示小波分解的层数，thr为阈值向量，对于格式(2)(3)每层都要求有一个阈值，因此阈值向量thr的长度为n，sorh表示选择软阈值还是硬阈值(分别取为’s’和’h’)，参数keepapp取值为1时，则低频系数不进行阈值量化处理，反之，则低频系数进行阈值量化。xc是消噪或压缩后的信号，[cxc，lxc]是xc的小波分解结构，perf0和perfl2是恢复和压缩l^2的范数百分比。
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