28.2.2 应用举例。
第一课时（刘佳）
一、教学目标。
1．核心素养：
通过解直角三角形应用举例的学习，初步形成基本的运算能力、推理能力、应用意识。
2．学习目标。
1）1.1.1理解仰角、俯角等概念．
2）1.1.2能将实际问题抽象成数学问题，并用解直角三角形的方法来解决。
3）1.1.3能利用解直角三角形来灵活求解其他非直角三角形的问题．
3．学习重点。
熟练运用解直角三角形的方法来解决视角相关的实际问题。
4．学习难点。
将实际问题抽象为数学模型．
二、教学设计。
一）课前设计。
1．预习任务。
任务1 阅读教材p74---p76，思考：什么是仰角、俯角？
任务2 阅读教材p74---p76，思考：怎么利用仰角、俯角和解直角三角形的知识解决实际应用问题？
2．预习自测。
一、填空题。
1．某人从a看b的仰角为15°，则从b看a的俯角为___
答案：15°
解析：根据平行线的定理，可知答案为15°.
二、选择题。
2.如图，已知ac＝100 m，∠b＝30°，则b、c两地之间的距离为（ ）
a．100m b．50m c．50m d. m
答案：a 解析：tan∠b=tan30°=,所以bc=100m，故选a.
3．如图，为测量某物体ab的高度，在d点测得a点的仰角为30°,朝物体ab方向前进16m,到达点c,再次测得点a的仰角为60°,则物体ab的高度为（ ）
a.8m b. 8m c.16 m d.16m
答案：b 解析：设ab＝x，在rt△acb中，tan60°=；
在rt△abd中，tan30°=；
cd＝bd－bc
16＝， 解得x＝8 .
故答案为：b.
二）课堂设计。
1．知识回顾。
1）锐角三角函数：在rt△abc中，∠a、∠b、∠c所对的边分别记为a、b、c，若∠c=90°，则，cosa＝＝，tana＝＝.
2）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
3）含30°角的直角三角形的三边比为；含45°角的直角三角形的三边比为。
°角的三角函数值。
2．问题**。
问题**一什么是仰角、俯角？
●活动一结合实际，得出定义。
思考：平时我们观察物体时，视线相对于水平线来说可有几种情况？
三种，重叠、向上和向下）
定义：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角．
问题**二仰角、俯角在解直角三角形中有什么应用？
●活动一应用知识，解决问题。
例1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60° ，热气球与高楼的水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.
1 m，参考数据：≈1.73）
知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】
详解：如图，过点a作，垂足为d
根据题意，可得，在rt△中，由。
得。在rt△中，由。得。
答：这栋楼高约为152.2 m．
点拨：求线段长，往往作高进而将特殊角放到直角三角形中，利用解直角三角形的方法来求解。
例2.如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从a点测得d点的俯角α为35°12′，测得c点俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高．(精确到0.1m)
知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】
详解：过d作de⊥ab于点e，则∠acb＝β＝43°24′，ade＝α＝35°12′，de＝bc＝32.6m.
在rt△abc中，∵tan∠acb＝，ab＝bc·tan∠acb＝32.6×tan43°24′≈30.83(m)．
在rt△ade中，∵tan∠ade＝，∴ae＝de·tan∠ade＝32.6×tan35°12′≈23.00(m)．
dc＝be＝ab－ae＝30.83－23.00≈7.8(m)．
答：两个建筑物的高分别约为30.8m，23.0m.
点拨：构造直角三角形的一般原则是，不破坏已知或所求的角，作高将其放到相应的直角三角形中去，进而把求线段的长转化成解直角三角形的知识。
问题**三怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟视角相关的问题？
活动一构造一个直角三角形解实际问题。
例1：太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢ab的长度相同，均为300 cm，ab的倾斜角为30°，be＝ca＝50 cm，支撑角钢cd，ef与底座地基台面接触点分别为d，f，cd垂直于地面，fe⊥ab于点e.两个底座地基高度相同(即点d，f到地面的垂直距离相同)，均为30 cm，点a到地面的垂直距离为50 cm，求支撑角钢cd和ef的长度各是多少厘米(结果保留根号)．
知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】
详解：如图，过a作ag⊥cd于g，则∠cag＝30°，在rt△acg中，cg＝acsin 30°＝50×＝25，gd＝50－30＝20，∴cd＝cg＋gd＝25＋20＝45，连接fd并延长与ba的延长线交于h，则∠h＝30°，在rt△cdh中，ch＝＝2cd＝90，eh＝ec＋ch＝ab－be－ac＋ch＝300－50－50＋90＝290，在rt△efh中，ef＝eh·tan 30°＝290×＝.
答：支撑角钢cd和ef的长度各是45 cm， cm.
活动二构造形如“”的两个直角三角形解实际问题。
例2．如图，“中国海监50”正在南海海域a处巡逻，岛礁b上的中国海军发现点a在点b的正西方向上，岛礁c上的中国海军发现点a在点c的南偏东30°方向上，已知点c在点b的北偏西60°方向上，且b，c两地相距120海里．
1)求出此时点a到岛礁c的距离；
2)若“中国海监50”从a处沿ac方向向岛礁c驶去，当到达点a′时，测得点b在a′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(注：结果保留根号)
知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】
详解：(1)如图所示，延长ba，过点c作cd⊥ba交ba延长线于点d，由题意可得：∠cbd＝30°，bc＝120海里，则dc＝60海里，故cos 30°＝＝解得：
ac＝40，答：点a到岛礁c的距离为40海里；
2)如图所示：过点a′作a′n⊥bc于点n，可得∠1＝30°，∠ba′a＝45°，a′n＝a′e，则∠2＝15°，即ba′平分∠cba，设aa′＝x，则a′e＝x，故ca′＝2a′n＝2×x＝x，x＋x＝40，解得：x＝20(3－)，答：
此时“中国海监50”的航行距离为20(3－)海里．
活动三构造形如“”的两个直角三角形解实际问题。
例3．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从a处水平飞行至b处需8 s，在地面c处同一方向上分别测得a处的仰角为75°，b处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4 m/s，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)．
知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】
详解：如图，作ad⊥bc于d，bh⊥水平线于h，由题意得：∠ach＝75°，∠bch＝30°，ab∥ch，∠abc＝30°，∠acb＝45°，ab＝32 m，ad＝cd＝ab·sin 30°＝16 m，bd＝ab·cos30°＝16m，bc＝cd＋bd＝(16＋16)m，则bh＝bc·sin 30°＝(8＋8)m.
活动四构造形如“”的两个直角三角形解实际问题。
例4．如图，小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕cd，点a是小刚的眼睛，测得屏幕下端d处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达b处，又测得该屏幕上端c处的仰角为45 °，延长ab与楼房垂直相交于点e，测得be＝21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离cd(结果保留根号)．
知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】
详解：∵∠cbe＝45°，ce⊥ae，∴ce＝be.
ce＝21米，∴ae＝ab＋be＝6＋21＝27(米)．
在rt△ade中，∵∠dae＝30°，de＝ae×tan 30°＝27×＝9 (米)，cd＝ce－de＝(21－9)米．
即该屏幕上端与下端之间的距离cd为(21－9)米．
3．课堂总结。
知识梳理】1）在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角。
2）求线段长，往往把线段放到直角三角形中，利用解直角三角形的方法求解。
【重难点突破】
1）题中没有直角三角形，或已知直角三角形不可用时，常常作辅助线构造直角三角形。
2）构造直角三角形，常用辅助线为延长或作高，但一般不破坏特殊角或已知角。
4．随堂检测。
一、选择题。
1.如图所示，为测量某物体ab的高度，在d点测得a点的仰角为30°,朝物体ab方向前进24 m,到达点c,再次测得点a的仰角为60°,则物体ab的高度为（ ）
a.12m b.12m c.24m d. 24m
答案：a 解析：∵在直角三角形adb中，∠d=30°,∴bd==ab.
在直角三角形abc中，∠acb=60°,∴bc==ab.
cd=20,cd=bd-bc=ab-ab=24,解得ab=12.
知识点：解直角三角形的应用；数学思想：数形结合】
二、填空题。
2．如图，小欣利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离be为5 m，ab为1.5 m(即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是___m.
答案： +1.5
解析：∵ab⊥be，de⊥be，ad∥be，∴四边形abed是矩形，be=5m，ab=1.5m，∴ad=be=5m，de=ab=1.
5m，在rt△acd中，∵∠cad=30°，ad=5m，cd=ad·tan30°=5×=
ce=cd+de=(+1.5)米。
知识点：解直角三角形的应用；数学思想：数形结合】
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