2012-2013学年度学暑期五年级讲义。
第九讲：进位制与取整运算。
一、知识要点。
1． 进位制的本质：进制就是逢进一，借一当．
2． 不同进制之间可以互化，一般以十进制作为桥梁．十进制化为二进制时，只需除2取余；同理，十进制化为八进制时，只需除8取余．
3． 在某些数学计算中，有时会略去一些量的小数部分，而只需要求它的整数部分．例如计算水费时，为方便计算经常忽略掉水表的小数部分．只关心某个数的整数部分，就涉及到取整问题。符号表示不超过的最大整数．例如，，，
4． 关于取整运算，显然有以下性质：
是整数。若，则；若，则；
若是整数，则．
5．数的小数部分一般用符号表示。例如，，，显然有，．
二、典型例题。
例1．计算：①；
例2．（1）在几进制中有？（2）在几进制中有？
例3．(1)将三进制中的数***改写为九进制，其从左向右数，第一位数字是几？(2) 将二进制中的数***改写为八进制．
例4．(1)一个7进制的三位数化为9进制的数为，求这个数在十进制中为多少？
2) 一个6进制的三位数化为9进制的数为，这个数在十进制中为多少？
例5．设1987在进制中可以写成三位数，且，试确定出所有可能的的值．
例6．(1) 求的余数．(2) 求的余数．
例7．一袋花生共有2004粒，一只猴子第一天拿走一粒，从第二天起，每天拿走的都是以前各天的总和。如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天？
例8．求中能被2或3或5整除的整数的个数．
例9．求的值．
例10．求关于的方程的解的个数．
例11．求出方程的所有解．
例12．求满足的的值．
例13．在数列，，，中有多少不同的数？
例14．求使能被整除的所有自然数．
例15．给定6个数：1，3，9，27，81，243，从这6个数中取出若干个数（每个数至多取一次），然后将取出的数相加得到一个和数，这样共可得到63个不同的和数．把这些数从小到大排列起来依次是1，3，4，9，10，12，……请问其中的第39个数是多少？
分析与解：三、练习题。
1．填空：
2．填空：
3．若，则
4．若，则
5．下列算式是几进位制的乘法？
6．如果下列算式是八进制算式，请求出各字母表示的数字（不同字母表示不同数字）．
a b c d
c b a b
b b c b b
7．一次乒乓球淘汰赛，共有23名同学参加，请问：共有多少人次轮空？
8．今有1克、2克、4克、8克、16克的五个砝码，却因为丢了一个砝码而使天平无法称出12克和23克的重量，请问：丢了哪个砝码？
9．夏季的一天，青蛙说：“今天我吃了3210只蚊子。”蜘蛛说：
“你吹牛，我替你数的是344只蚊子。”原来青蛙有四条腿，按**制计数；而蜘蛛有八条腿，按八进制计数．如果按十进制计数，青蛙吃了多少只蚊子？
10．求证：能被5整除．
11．计算：
12．在1～10000这一万个自然数中，有多少个数能被5或7整除？
13．在1～500这500个自然数中，有多少个数是3或5的倍数？
14．在1～1000这1000个自然数中，有多少个数既不是3也不是7的倍数？
15．已知，求的值．
四、练习题参***：
1．，利用十进制化为进制时“除取余”的方法，可得。
3．由进制运算，可得，由已知可得方程，所以．
4．由进制运算，可得，由已知可得方程。
解得．5．根据尾数分析法，可知算式为**制．
6．由和的首位数字分析，可知，从而加数中的，进而由加数的最高位需要进位可得，而，最后试算可得，．综上可得，，，
7．，8．丢的是4克的砝码．而，由题意，导致12克和23克的重量不能被称量的是两式中的公共加数．
9．，，即按照十进制计数，青蛙共吃了228只蚊子．
化为二进制为，其中的1共有8个，且与0间隔排列．而，显然，在二进制下能整除，从而5能整除．
12．在1～10000中能被5或7整除的数共有。
个．13．在1～500这500个自然数中，是3或5的倍数的数共有。
个．14．在1～1000这1000个自然数中，既不是3也不是7的倍数的数共有。
个．15．提示：仿例9的方法，易得，同理，……从而．
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