长宁区2012学年第一学期高三数学质量调研试卷。
一、填空题：（本大题满分56分）
1.计算。2.记函数的反函数为如果函数的图像过点，那么函数的图像过点。
3.已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球，则从口袋中任意摸出8
个球恰好是4白4黑的概率为结果精确到0.001）.
4.展开式中含项的系数为。
5.设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则。
6. 【理】已知，为的共轭复数，若（是虚数单位），则。
文】已知z为复数，且，则。
7.从数列中可以找出无限项构成一个新的等比数列，使得该新数列的各项和为，则此数列的通项公式为。
8.阅读如图所示的程序框图，输出的值为。
9.已知△的面积为，，，则△的周长等于。
10.给出下列命题：
非零向量、满足，则与的夹角为30°；，是、的夹角为锐角的充要条件；
将函数的图象按向量=平移，得到的图象对应的函数表达式为；
在△中，若，则为等腰三角形。
以上命题正确的是注：把你认为正确的命题的序号都填上）.
11. 【理】我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积s、周长与内切圆。
半径之间的关系为。类比这个结论，在空间中，如果已知一个凸多面体有内切球，且内切球半径为，那么凸多面体的体积、表面积与内切球半径r之间的关系是。
文】已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为。
12.【理】设，若恒成立，则的最大值为。
文】已知向量，,若，则的最小值为。
13.【理】已知函数的值域为，若关于的不等式的。
解集为，则实数的值为。
文】设为非零实数，偶函数在区间上存在唯一零点，则实数的取值范围是。
14.【理】给出定义：若(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即。 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
函数的定义域是，值域是；
函数的图像关于直线= (对称；
函数是周期函数，最小正周期是1；
函数在上是增函数。
则其中真命题是写出所有真命题的序号).
文】已知数列满足，且，且，则数列中项的。
最大值为。二、选择题：（本大题满分20分）
15. “是“函数为偶函数的”（
充分不必要条件必要不充分条件；
充要条件既不充分也不必要条件．
16.若，则△必定是（ ）
锐角三角形； ．直角三角形； ．钝角三角形； ．等腰直角三角形．
17.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（ ）
若，，则若∥，，则；
若∥，，则∥；
18.【理】函数，的图象可能是下列图象中的（ ）
文】已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
三、解答题（本大题满分74分）
19.（本题满分12分）已知，，满足．
1）将表示为的函数，并求的最小正周期；
2）【理】已知，，分别为△的三个内角，，对应的边长，若，且，求的取值范围．
文】当时，恒成立，求实数的取值范围。
20.（本题满分12分）如图，△中，， 在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与、分别相切于点、，与交于点），将△
绕直线旋转一周得到一个旋转体。
1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；
2）求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．
21.（本题满分14分）
理】经过统计分析，公路上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当公路上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：
当时，车流速度是车流密度的一次函数。
1）当时，求函数的表达式；
2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过公路上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）
可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.
文】某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05元，又该厂职工工资固定支出12500元。
1）把每件产品的成本费（元）表示成产品件数的函数，并求每件产品的最低成本费；
2）如果该厂生产的这种产品的数量不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件。
产品的销售价与产品件数有如下关系：，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额-总的成本）
22．（本小题满分18分）
理】已知函数．
1）求函数的定义域和值域；
2）设（为实数），求在时的最大值；
3）对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围．
文】已知二次函数．
1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；
2）关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
3）函数在上是增函数，求实数的取值范围．
23．（本题满分18分）
理】已知函数，当时，的值域为；当时，的值域为．依次类推，一般地，当时，的值域为，其中、为常数，且，．
1）若，求数列，的通项公式；
2）若，问是否存在常数，使得数列满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
3）若，设数列，的前项和分别为，，求．
文】设，等差数列中，，记，令，数列的前项和为。
1）求的通项公式和；
2）求证：；
3）是否存在正整数，，且，使得，，成等比数列？若存在，求出，的值；
若不存在，说明理由。
长宁区2012学年第一学期高三数学期终抽测试卷答案。
一、填空题（每小题4分，满分56分）
5、 6、（理）， 文）
11、（理），（文） 12、（理），（文） 13、（理），（文）
14、（理）①②文）1
二、选择题（每小题5分，满分20分）
三、解答题。
19、解（1）由得 ……3分。
即。所以，其最小正周期为6分。
2）（理）因为，则。
因为为三角形内角，所以………9分。
法一：由正弦定理得，，，所以的取值范围为 ……12分。
法二：，因此，因为，所以，又，所以的取值范围为 ……12分。
文）（2）,因此的最小值为，……9分。
由恒成立，得，所以实数的取值范围是12分。
20、解（1）连接，则。
3分。设，则，又，所以，……6分。
所以8分。2）……12分。
21、（理）解（1）由题意：当时，；
当时，设2分。
再由已知得解得4分。
故函数v(x)的表达式为………7分。
2）依题意并由（1）可得， …9分。
当时，为增函数。故当x=20时，其最大值为60×20=1200；
当时， 当且仅当，即时，等号成立。
所以，当时，在区间[20，200]上取得最大值。 …12分。
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值。
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。……14分。
文）解：（13分。
由基本不等式得
当且仅当，即时，等号成立6分，成本的最小值为元7分。
2）设总利润为元，则………10分。
当时13分。
答：生产件产品时，总利润最高，最高总利润为元．… 14分。
22、（理）解：由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为………2分。
又由≥0 得值域为………4分。
2）因为。令，则， (t= …6分。
由题意知g(a)即为函数的最大值。
注意到直线是抛物线的对称轴。……7分。
因为a<0时，函数y=m(t),的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即则………8分。
若，即则………10分。
若，即则 ……11分。
综上有12分。
3）易得14分。
由对恒成立，即要使恒成立，……15分。
令，对所有的成立，只需17分。
求出m的取值范围是。 …18分。
文）解：（1）当时，，不合题意；……1分。
当时，在上不可能单调递增；……2分。
当时，图像对称轴为，由条件得，得 ……4分。
2）设5分。
当时7分。因为不等式在上恒成立，所以在时的最小值大于或等于2，所以9分。
解得10分。
3）在上是增函数，设，则，，…12分。
因为，所以14分。
而16分。所以18分。
23、（理）解：（1）因为。
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