13-4数学归纳法。
a级基础达标演练。
时间：40分钟满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是( )
a．假设n＝k(k∈n＋)，证明n＝k＋1命题成立。
b．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立。
c．假设n＝2k＋1(k∈n＋)，证明n＝k＋1命题成立。
d．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立。
解析 a、b、c中，k＋1不一定表示奇数，只有d中k为奇数，k＋2为奇数．
答案 d2．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是( )
a．2k＋2b．2k＋3
c．2k＋1d．(2k＋2)＋(2k＋3)
解析当n＝k时，左边是共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋2k＋1)，所以当n＝k＋1时，左边是共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋3＋…＋2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)．
答案 d3．对于不等式(1)当n＝1时， <1＋1，不等式成立．
2)假设当n＝k(k∈n*且k≥1)时，不等式成立，即∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
a．过程全部正确。
b．n＝1验得不正确。
c．归纳假设不正确。
d．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确。
解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．
答案 d4．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈n*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )
a．(k＋3)3b．(k＋2)3
c．(k＋1)3d．(k＋1)3＋(k＋2)3
解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．
当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．
答案 a5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上( )
a．k2＋1
b．(k＋1)2
c. d．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…k＋1)2
解析 ∵当n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…k＋1)2，当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…k＋1)2.
答案 d二、填空题(每小题4分，共12分)
6．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是___
解析 ∵f(k)＝12＋22＋…＋2k)2，f(k＋1)＝12＋22＋…＋2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2；
f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
答案 f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
7．用数学归纳法证明1＋＋＋n(n∈n，且n＞1)，第一步要证的不等式是___
解析 n＝2时，左边＝1＋＋＝1＋＋，右边＝2.
答案 1＋＋＜2
8．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(n∈n*)行，在这些数中非1的数字之和是。
解析所有数字之和sn＝20＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，除掉1的和2n－1－(2n－1)＝2n－2n.
答案 2n－2n
三、解答题(共23分)
9．(11分)试证：当n∈n*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
证明法一 (1)当n＝1时，f(1)＝64，命题显然成立．
2)假设当n＝k(k∈n*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．
当n＝k＋1时，由于32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9
9(32k＋2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k＋2－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)、(2)可知，对于任意n∈n*，命题都成立．
法二 (1)当n＝1时f(1)＝64
命题显然成立．
2)假设当n＝k(k∈n*，k≥1)时，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除．
由归纳假设，设32k＋2－8k－9＝64m(m为大于1的自然数)，将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得，f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)(2)知，对于任意n∈n*，命题都成立．
10．(12分)已知数列中，a1＝a(a＞2)，对一切n∈n*，an＞0，an＋1＝.
求证：an＞2且an＋1＜an.
证明法一 ∵an＋1＝＞0，an＞1，an－2＝－2＝≥0，an≥2.若存在ak＝2，则ak－1＝2，由此可推出ak－2＝2，…，a1＝2，与a1＝a＞2矛盾，故an＞2.
an＋1－an＝＜0，an＋1＜an.
法二 (用数学归纳法证明an＞2)
当n＝1时，a1＝a＞2，故命题an＞2成立；
假设n＝k(k≥1且k∈n*)时命题成立，即ak＞2，那么，ak＋1－2＝－2＝＞0.
所以ak＋1＞2，即n＝k＋1时命题也成立．
综上所述，命题an＞2对一切正整数成立．
an＋1＜an的证明同上．
b级综合创新备选。
时间：30分钟满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋n∈n*)成立，其初始值至少应取( )
a．7 b．8 c．9 d．10
解析左边＝1＋＋＋2－，代入验证可知n的最小值是8.
答案 b2．用数学归纳法证明1则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上( )
ab．－cd.＋
解析 ∵当n＝k时，左侧＝1－＋－当n＝k＋1时，左侧＝1
答案 c二、填空题(每小题4分，共8分)
3．在数列中，a1＝且sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是___
解析当n＝2时，a1＋a2＝6a2，即a2＝a1＝；
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝15a3，即a3＝(a1＋a2)＝；
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4，即a4＝(a1＋a2＋a3)＝.
a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，a4＝，故猜想an＝.
答案 an＝
4．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是___
解析本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；
一个整数n所拥有数对为(n－1)对．
设1＋2＋3＋…＋n－1)＝60，∴＝60，n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，第60个数对为(5,7)．
答案 (5,7)
三、解答题(共22分)
5．(10分)(2010·全国)已知数列中，a1＝1，an＋1＝c－.
1)设c＝，bn＝，求数列的通项公式；
2)求使不等式an＜an＋1＜3成立的c的取值范围．
解 (1)an＋1－2＝－－2＝，＝2，即bn＋1＝4bn＋2.
bn＋1＋＝4，又a1＝1，故b1＝＝－1，所以是首项为－，公比为4的等比数列，bn＋＝－4n－1，bn＝－－
2)a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1，得c＞2.
用数学归纳法证明：当c＞2时，an＜an＋1.
ⅰ)当n＝1时，a2＝c－＞a1，命题成立；
ⅱ)设当n＝k(k≥1且k∈n*)时，ak＜ak＋1，则当n＝k＋1时，ak＋2＝c－＞c－＝ak＋1.
故由(ⅰ)知当c＞2时，an＜an＋1.
当c＞2时，因为c＝an＋1＋＞an＋，所以a－can＋1＜0有解，所以＜an＜，令α＝，当2＜c≤时，an＜α≤3.
当c＞时，α＞3，且1≤an＜α，于是α－an＋1＝(αan)＜(an)＜(an－1)＜…1)．
当n＞log3时，α－an＋1＜α－3，an＋1＞3，与已知矛盾．
因此c＞不符合要求．
所以c的取值范围是。
6．(12分)(2012·西安模拟)是否存在常数a、b、c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈n*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由．
解假设存在a、b、c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈n*都成立．
当n＝1时，a(b＋c)＝1；
当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；
当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.
解方程组。解得。
证明如下：当n＝1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立．
假设n＝k(k∈n*)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝k(2k2＋1)；
当n＝k＋1时，12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12
k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2
k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2
k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2
(k＋1)(2k2＋4k＋3)
(k＋1)[2(k＋1)2＋1]．
即n＝k＋1时，等式成立．
因此存在a＝，b＝2，c＝1使等式对一切n∈n*都成立．
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