数学模型第二章习题答案

发布 2022-07-15 14:16:28 阅读 9753

第二章(2)(2024年10月9日)

15.速度为的风吹在迎风面积为的风车上,空气密度是,用量纲分析方法确定风车获得的功率与、s、的关系。

解: 设、、s、的关系为, 其量纲表达式为:

p这里是基本量纲。

量纲矩阵为:

a=齐次线性方程组为:

它的基本解为。

由量纲定理得 , 其中是无量纲常数。

16.雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关,其中粘滞系数的定义是:运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比,比例系数为粘滞系数,用量纲分析方法给出速度的表达式。

解:设, ,的关系为, ,0.其量纲表达式为=lm0t-1,l-3mt0,mlt-2(lt-1l-1)-1l-2=mll-2t-2t=l-1mt-1,lm0t-2,其中l,m,t是基本量纲。

量纲矩阵为。

a=齐次线性方程组ay=0 ,即

的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)

由量纲定理得。 ,其中是无量纲常数。

16.雨滴的速度与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关,其中粘滞系数的定义是:运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比,比例系数为粘滞系数,用量纲分析方法给出速度的表达式。

解:设, ,的关系为。其量纲表达式为。

]=lm0t-1,l-3mt0,mlt-2(lt-1l-1)-1l-2=mll-2t-2t=l-1mt-1,lm0t0 ,[lm0t-2

其中l,m,t是基本量纲。

量纲矩阵为。

a=齐次线性方程组ay=0 即。

的基本解为。

得到两个相互独立的无量纲量。

即 . 由, 得

其中是未定函数。

20.考察阻尼摆的周期,即在单摆运动中考虑阻力,并设阻力与摆的速度成正比。给出周期的表达式,然后讨论物理模拟的比例模型,即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。

解:设阻尼摆周期,摆长, 质量,重力加速度,阻力系数的关系为。

其量纲表达式为:

其中,,是基本量纲。

量纲矩阵为。

a=齐次线性方程组。

的基本解为。

得到两个相互独立的无量纲量, ,

,其中是未定函数 .

考虑物理模拟的比例模型,设和不变,记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为又

当无量纲量时, 就有 .

数学模型》作业解答。

第三章1(2024年10月14日)

1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量.证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样,而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少.

解:设购买单位重量货物的费用为,其它假设及符号约定同课本.

对于不允许缺货模型,每天平均费用为:

令, 解得

由, 得。与不考虑购货费的结果比较,t、的最优结果没有变.

对于允许缺货模型,每天平均费用为:

令 , 得到驻点:

与不考虑购货费的结果比较,t、的最优结果减少.

2.建立不允许缺货的生产销售存贮模型.设生产速率为常数,销售速率为常数,.在每个生产周期t内,开始的一段时间一边生产一边销售,后来的一段时间只销售不生产,画出贮存量的图形。设每次生产准备费为,单位时间每件产品贮存费为,以总费用最小为目标确定最优生产周期,讨论和的情况。

解:由题意可得贮存量的图形如下:

贮存费为 又

贮存费变为

于是不允许缺货的情况下,生产销售的总费用(单位时间内)为。

得。易得函数取得最小值,即最优周期为:

相当于不考虑生产的情况。

此时产量与销量相抵消,无法形成贮存量。

第三章2(2024年10月16日)

3.在3.3节森林救火模型中,如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关,试假设一个合理的函数关系,重新求解模型。

解:考虑灭火速度与火势有关,可知火势越大,灭火速度将减小,我们作如下假设: ,分母而加的。

总费用函数。

最优解为 5.在考虑最优**问题时设销售期为t,由于商品的损耗,成本随时间增长,设,.又设单位时间的销售量为。今将销售期分为两段,每段的**固定,记作。

求的最优值,使销售期内的总利润最大。如果要求销售期t内的总售量为,再求的最优值。

解:按分段**,单位时间内的销售量为。

又 .于是总利润为。

得到最优**为:

在销售期t内的总销量为。

于是得到如下极值问题:

利用拉格朗日乘数法,解得:

即为的最优值。

第三章3(2024年10月21日)

6. 某厂每天需要角钢100吨,不允许缺货。目前每30天定购一次,每次定购的费用为2500元。

每天每吨角钢的贮存费为0.18元。假设当贮存量降到零时订货立即到达。

问是否应改变订货策略?改变后能节约多少费用?

解:已知:每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费=2500(元);

每天每吨角钢的贮存费=0.18(元).又现在的订货周期t=30(天)

根据不允许缺货的贮存模型:

得: 令 , 解得:

由实际意义知:当(即订货周期为)时,总费用将最小。

又=300+100k

=353.33+100k

=(353.33+100k)-(300+100k)=53.33.

故应改变订货策略。改变后的订货策略(周期)为t=,能节约费用约53.33元。

数学模型》作业解答。

第四章(2024年10月28日)

1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用原料1千克,原料5千克;一件乙产品用原料2千克,原料4千克。现有原料20千克,原料70千克。

甲、乙产品每件售价分别为20元和30元。问如何安排生产使收入最大?

解:设安排生产甲产品x件,乙产品y件,相应的利润为s

则此问题的数学模型为:

max s=20x+30y

这是一个整线性规划问题,现用**法进行求解。

可行域为:由直线:x+2y=20, :5x+4y=70

y以及x=0,y=0组成的凸四边形区域。

直线:20x+30y=c在可行域内。

平行移动。易知:当过与的交点时x

s取最大值。

由解得。此时=20=350(元)

2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物,每箱的体积、重量以及可获利润如下表:

已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米,重量不超过13百斤。试问这两种货物各托运多少箱,使得所获利润最大,并求出最大利润。

解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为, ,所获利润为则问题的数学模型可表示为。

这是一个整线性规划问题。

用**法求解。

可行域为:由直线。

及组成直线在此凸四边形区域内平行移动。

易知:当过与的交点时,取最大值。

由解得。3.某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉。已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位。

而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位。若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台。试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大.并求出最大利润。

解:设安排生产甲型微波炉件,乙型微波炉件,相应的利润为s.

则此问题的数学模型为:

max s=3x +2y

这是一个整线性规划问题。

用**法进行求解。

可行域为:由直线:2x+3y=100, :4x+2y=120

及x=6,y=12组成的凸四边形区域。

直线:3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动。 易知:当过与的交点时, s取最大值。 由解得

数学模型》作业解答。

第五章1(2024年11月12日)

1.对于5.1节传染病的模型,证明:

(1)若,然后减少并趋于零;单调减少至。

解:传染病的模型(14)可写成。

4.在5.3节正规战争模型(3)中,设乙方与甲方战斗有效系数之比为。

初始兵力相同。

(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定。

(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负。

解:用表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:

现求(1)的解: (1)的系数矩阵为。

再由初始条件,得。

又由。其解为

即乙方取胜时的剩余兵力数为。

又令。注意到。

2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援。则。

相轨线为。此相轨线比书图11中的轨线上移了乙方取胜的条件为。

第五章2(2024年11月14日)

6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型(只有中心室),在快速静脉注射、恒速静脉滴注(持续时间为)和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度,并画出血药浓度曲线的图形。

数学模型第二章习题答案

第二章 2 2008年10月9日 15 速度为的风吹在迎风面积为的风车上,空气密度是,用量纲分析方法确定风车获得的功率与 s 的关系。解 设 s 的关系为,其量纲表达式为 p这里是基本量纲。量纲矩阵为 a 齐次线性方程组为 它的基本解为。由量纲定理得 其中是无量纲常数。16 雨滴的速度与空气密度 粘...

数学模型作业答案

问题1 如果在食饵 捕食者系统中,捕食者掠食的对象只是成年的食饵,而未成年的食饵因体积太小免遭捕获。在适当的假设下建立这三者之间关系的模型,求平衡点。设 答 月相从新月开始,然后是峨眉月 上弦月 满月 下弦月 峨眉月。我们将食饵与捕食者分别记作x t y t 即x t rx而捕食者的存在使鱼饵的增长...

第二章 初等模型习题解答

1 题目 生物学家认为,对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温,能量与从心脏到全身的血流量成正比,而体温主要通过身体表面散失,建立一个动物体重与心率之间关系的模型,并用下面的数据加以检验。解 动物消耗的能量主要用于维持体温,而体内热量通过表面积散失,记动物体重为,则。正比于血流量,而,其中...