第二章(2)（2024年10月9日）
15．速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度是，用量纲分析方法确定风车获得的功率与、s、的关系。
解： 设、、s、的关系为， 其量纲表达式为：
p这里是基本量纲。
量纲矩阵为：
a=齐次线性方程组为：
它的基本解为。
由量纲定理得 ， 其中是无量纲常数。
16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式。
解：设， ,的关系为， ,0.其量纲表达式为=lm0t-1，l-3mt0，mlt-2（lt-1l-1）-1l-2=mll-2t-2t=l-1mt-1，lm0t-2,其中l，m，t是基本量纲。
量纲矩阵为。
a=齐次线性方程组ay=0 ，即
的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)
由量纲定理得。 ，其中是无量纲常数。
16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式。
解：设， ,的关系为。其量纲表达式为。
]=lm0t-1，l-3mt0，mlt-2（lt-1l-1）-1l-2=mll-2t-2t=l-1mt-1，lm0t0 ，[lm0t-2
其中l，m，t是基本量纲。
量纲矩阵为。
a=齐次线性方程组ay=0 即。
的基本解为。
得到两个相互独立的无量纲量。
即 . 由， 得
其中是未定函数。
20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期。
解：设阻尼摆周期，摆长， 质量，重力加速度，阻力系数的关系为。
其量纲表达式为：
其中，，是基本量纲。
量纲矩阵为。
a=齐次线性方程组。
的基本解为。
得到两个相互独立的无量纲量， ,
，其中是未定函数 .
考虑物理模拟的比例模型，设和不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为又
当无量纲量时， 就有 .
数学模型》作业解答。
第三章1（2024年10月14日）
1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用，重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．
解：设购买单位重量货物的费用为，其它假设及符号约定同课本．
对于不允许缺货模型，每天平均费用为：
令， 解得
由， 得。与不考虑购货费的结果比较，ｔ、的最优结果没有变．
对于允许缺货模型，每天平均费用为：
令 ， 得到驻点：
与不考虑购货费的结果比较，ｔ、的最优结果减少．
2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数，销售速率为常数，．在每个生产周期ｔ内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产，画出贮存量的图形。设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论和的情况。
解：由题意可得贮存量的图形如下：
贮存费为 又
贮存费变为
于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为。
得。易得函数取得最小值，即最优周期为：
相当于不考虑生产的情况。
此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量。
第三章2（2024年10月16日）
3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型。
解：考虑灭火速度与火势有关，可知火势越大，灭火速度将减小，我们作如下假设： ，分母而加的。
总费用函数。
最优解为 5．在考虑最优**问题时设销售期为t，由于商品的损耗，成本随时间增长，设，.又设单位时间的销售量为。今将销售期分为两段，每段的**固定，记作。
求的最优值，使销售期内的总利润最大。如果要求销售期t内的总售量为，再求的最优值。
解：按分段**，单位时间内的销售量为。
又 .于是总利润为。
得到最优**为：
在销售期t内的总销量为。
于是得到如下极值问题：
利用拉格朗日乘数法，解得：
即为的最优值。
第三章3（2024年10月21日）
6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货。目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元。
每天每吨角钢的贮存费为0.18元。假设当贮存量降到零时订货立即到达。
问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？
解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费＝2500（元）;
每天每吨角钢的贮存费＝0.18（元）.又现在的订货周期t＝30（天）
根据不允许缺货的贮存模型：
得： 令 ， 解得：
由实际意义知：当（即订货周期为）时，总费用将最小。
又＝300＋100k
=353．33＋100k
＝（353.33＋100k）－（300＋100k）＝53．33.
故应改变订货策略。改变后的订货策略（周期）为t=，能节约费用约53．33元。
数学模型》作业解答。
第四章（2024年10月28日）
1. 某厂生产甲、乙两种产品，一件甲产品用原料1千克，原料5千克；一件乙产品用原料2千克，原料4千克。现有原料20千克，原料70千克。
甲、乙产品每件售价分别为20元和30元。问如何安排生产使收入最大？
解：设安排生产甲产品x件，乙产品y件，相应的利润为s
则此问题的数学模型为：
max s=20x+30y
这是一个整线性规划问题，现用**法进行求解。
可行域为：由直线：x+2y=20, :5x+4y＝70
y以及x=0,y=0组成的凸四边形区域。
直线：20x+30y=c在可行域内。
平行移动。易知：当过与的交点时x
s取最大值。
由解得。此时＝20＝350（元）
2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤。试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润。
解：设甲货物、乙货物的托运箱数分别为， ,所获利润为则问题的数学模型可表示为。
这是一个整线性规划问题。
用**法求解。
可行域为：由直线。
及组成直线在此凸四边形区域内平行移动。
易知：当过与的交点时，取最大值。
由解得。3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉。已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位。
而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位，所需工时分别为4和2个单位。若允许使用原料为100个单位，工时为120个单位，且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台。试建立一个数学模型，确定生产甲型、乙型微波炉的台数，使获利润最大．并求出最大利润。
解：设安排生产甲型微波炉件，乙型微波炉件，相应的利润为s.
则此问题的数学模型为：
max s=3x +2y
这是一个整线性规划问题。
用**法进行求解。
可行域为：由直线：2x+3y=100, :4x+2y＝120
及x=6,y=12组成的凸四边形区域。
直线：3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动。 易知：当过与的交点时， s取最大值。 由解得
数学模型》作业解答。
第五章1（2024年11月12日）
1.对于5.1节传染病的模型，证明：
（1）若，然后减少并趋于零；单调减少至。
解：传染病的模型（14）可写成。
4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为。
初始兵力相同。
(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少，乙方取胜的时间如何确定。
(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援，重新建立模型，讨论如何判断双方的胜负。
解：用表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数，则正规战争模型可近似表示为：
现求(1)的解： (1)的系数矩阵为。
再由初始条件，得。
又由。其解为
即乙方取胜时的剩余兵力数为。
又令。注意到。
2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率增援。则。
相轨线为。此相轨线比书图11中的轨线上移了乙方取胜的条件为。
第五章2（2024年11月14日）
6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形。
数学模型第二章习题答案
第二章 2 2008年10月9日 15 速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度是，用量纲分析方法确定风车获得的功率与 s 的关系。解 设 s 的关系为，其量纲表达式为 p这里是基本量纲。量纲矩阵为 a 齐次线性方程组为 它的基本解为。由量纲定理得 其中是无量纲常数。16 雨滴的速度与空气密度 粘...
数学模型作业答案
问题1 如果在食饵 捕食者系统中，捕食者掠食的对象只是成年的食饵，而未成年的食饵因体积太小免遭捕获。在适当的假设下建立这三者之间关系的模型，求平衡点。设 答 月相从新月开始，然后是峨眉月 上弦月 满月 下弦月 峨眉月。我们将食饵与捕食者分别记作x t y t 即x t rx而捕食者的存在使鱼饵的增长...
第二章 初等模型习题解答
1 题目 生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间关系的模型，并用下面的数据加以检验。解 动物消耗的能量主要用于维持体温，而体内热量通过表面积散失，记动物体重为，则。正比于血流量，而，其中...