2.1 试问**制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？
解：**制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：
八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：
二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：
假设每个消息的发出都是等概率的，则：
**制脉冲的平均信息量h(x1) =log2n = log24 = 2 bit/symbol
八进制脉冲的平均信息量h(x2) =log2n = log28 = 3 bit/symbol
二进制脉冲的平均信息量h(x0) =log2n = log22 = 1 bit/symbol
所以：**制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。
2.2 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？
解：设随机变量x代表女孩子学历。
设随机变量y代表女孩子身高。
已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的。
即：p(y1/ x1) =0.75
求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量。
即： 2.3 一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问。
1) 任一特定排列所给出的信息量是多少？
2) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？
解：1) 52张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是：
2) 52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下：
2.4 设离散无记忆信源，其发出的信息为(202120130213001203210110321010021032011223210)，求。
1) 此消息的自信息量是多少？
2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少？
解：1) 此消息总共有14个个个个3，因此此消息发出的概率是：
此消息的信息量是：
2) 此消息中平均每符号携带的信息量是：
2.5 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一位男士：
“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？
解：男士：
女士：2.6 设信源，求这个信源的熵，并解释为什么h(x) >log6不满足信源熵的极值性。
解：不满足极值性的原因是。
2.7 证明：h(x3/x1x2) ≤h(x3/x1)，并说明当x1, x2, x3是马氏链时等式成立。
证明：2.8证明：h(x1x2 。。xn) ≤h(x1) +h(x2) +h(xn)。
证明：2.9 设有一个信源，它产生0，1序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，均按p(0) =0.4，p(1) =0.6的概率发出符号。
1) 试问这个信源是否是平稳的？
2) 试计算h(x2), h(x3/x1x2)及h∞；
3) 试计算h(x4)并写出x4信源中可能有的所有符号。解：
这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些词语：“它在任意时间而且不论以前发生过什么符号……”
2.10 一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。信源x的符号集为。
1) 求平稳后信源的概率分布；
2) 求信源的熵h∞。解：
2.11黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源x=。设黑色出现的概率为p(黑) =0.3，白色出现的概率为p(白) =0.7。
1) 假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵h(x)；
2) 假设消息前后有关联，其依赖关系为p(白/白) =0.9，p(黑/白) =0.1，p(白/黑) =0.2，p(黑/黑) =0.8，求此一阶马尔可夫信源的熵h2(x);
3) 分别求上述两种信源的剩余度，比较h(x)和h2(x)的大小，并说明其物理含义。解：
h(x) >h2(x)
表示的物理含义是：无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度，有记忆信源的结构化信息较多，能够进行较大程度的压缩。
2.12 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求：
1) “3和5同时出现”这事件的自信息；
2) “两个1同时出现”这事件的自信息；
3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量；
4) 两个点数之和（即2, 3, …12构成的子集）的熵；
5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。解：
两个点数的排列如下：
共有21种组合：
其中11，22，33，44，55，66的概率是。
其他15个组合的概率是。
参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：
2.13 某一无记忆信源的符号集为，已知p(0) =1/4，p(1) =3/4。
1) 求符号的平均熵；
2) 有100个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m个“0”和（100 - m）个“1”）的自信息量的表达式；
3) 计算(2)中序列的熵。解：
2.14 对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷暖两个状态，调查结果得联合出现的相对频度如下：
若把这些频度看作概率测度，求：
1) 忙闲的无条件熵；
2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵；
3) 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。解：
根据忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下：
设忙闲为随机变量x，天气状态为随机变量y，气温状态为随机变量z
2.15 有两个二元随机变量x和y，它们的联合概率为。
并定义另一随机变量z = xy（一般乘积），试计算：
1) h(x), h(y), h(z), h(xz), h(yz)和h(xyz)；
2) h(x/y), h(y/x), h(x/z), h(z/x), h(y/z), h(z/y), h(x/yz), h(y/xz)和h(z/xy)；
3) i(x;y), i(x;z), i(y;z), i(x;y/z), i(y;z/x)和i(x;z/y)。解：
z = xy的概率分布如下：
2.16 有两个随机变量x和y，其和为z = x + y（一般加法），若x和y相互独立，求证：h(x) ≤h(z), h(y) ≤h(z)。
证明：同理可得。
2.17 给定声音样值x的概率密度为拉普拉斯分布，求hc(x)，并证明它小于同样方差的正态变量的连续熵。
解：2.18 连续随机变量x和y的联合概率密度为：，求h(x), h(y), h(xyz)和i(x;y)。
提示：）解：
2.19 每帧电视图像可以认为是由3105个像素组成的，所有像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现，问每帧图像含有多少信息量？若有一个广播员，在约10000个汉字中选出1000个汉字来口述此电视图像，试问广播员描述此图像所广播的信息量是多少（假设汉字字汇是等概率分布，并彼此无依赖）？
若要恰当的描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？解：
2.20 设是平稳离散有记忆信源，试证明：
证明：2.21 设是n维高斯分布的连续信源，且x1, x2, …xn的方差分别是，它们之间的相关系数。试证明：n维高斯分布的连续信源熵。
证明：相关系数，说明是相互独立的。
2.22 设有一连续随机变量，其概率密度函数。
1) 试求信源x的熵hc(x)；
2) 试求y = x + a (a > 0)的熵hc(y)；
3) 试求y = 2x的熵hc(y)。解：
3.1 设信源通过一干扰信道，接收符号为y = 信道转移矩阵为，求：
1) 信源x中事件x1和事件x2分别包含的自信息量；
2) 收到消息yj (j=1,2)后，获得的关于xi (i=1,2)的信息量；
3) 信源x和信宿y的信息熵；
4) 信道疑义度h(x/y)和噪声熵h(y/x)；
5) 接收到信息y后获得的平均互信息量。解：
3.2 设二元对称信道的传递矩阵为。
1) 若p(0) =3/4, p(1) =1/4，求h(x), h(x/y), h(y/x)和i(x;y)；
2) 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布；解：
3.3 设有一批电阻，按阻值分70%是2kω，30%是5 kω；按瓦分64%是0.125w，其余是0.
25w。现已知2 kω阻值的电阻中80%是0.125w，问通过测量阻值可以得到的关于瓦数的平均信息量是多少？
解：对本题建立数学模型如下：
以下是求解过程：
3.4 若x, y, z是三个随机变量，试证明。
1) i(x;yz) =i(x;y) +i(x;z/y) =i(x;z) +i(x;y/z)；
证明：2) i(x;y/z) =i(y;x/z) =h(x/z) –h(x/yz)；
证明：3) i(x;y/z) ≥0，当且仅当(x, y, z)是马氏链时等式成立。
证明：当时等式成立。
所以等式成立的条件是x, y, z是马氏链。
3.5若三个随机变量，有如下关系：z = x + y，其中x和y相互独立，试证明：
1) i(x;z) =h(z) -h(y)；
2) i(xy;z) =h(z)；
第二章信源熵 习题答案
2.1 试问 制 八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？制脉冲可以表示4个不同的消息，例如 八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如 二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如 假设每个消息的发出都是等概率的，则 制脉冲的平均信息量。八进制脉冲的平均信息量。二进制脉冲的平均信息量。所以 制 八进制脉冲...
第二章习题答案
第二章习题。1 a企业受到票据。借 应收票据 468000 贷 主营业务收入 400000 应交税费 应交增值税 销项税额 68000 票据到期收回票款。借 银行存款 468000 贷 应收票据 468000 年计提利息。借 应收利息 6240 贷 财务费用 6240 票据到期收回票款。借 银行存款...
第二章习题答案
第二章。1.在立方点阵中画出下面的点阵面和结点方向。2.将下面几个干涉面 属立方晶系 按面间距的大小排列。解 立方晶系的面间距公式为，所以带入数据得到按面间距大小排列为 100 110 00 10 11 21 030 130 123 3.在六方晶系中h k i。证明1 如图，任意截面交和于c,d 过...