第一章习题。
1.1 质点的运动学方程为（国际制单位），求质点运动的轨道、速度和加速度．
解运动学方程可表述为分量形式。
和 消去时间，得质点运动的轨道方程。
对运动学方程求时间导数，即可求得质点运动的速度和加速度为。
1.2 质点沿轴运动，其速度（国际制单位），求到时间内的位移．
解根据直线运动位移和定积分概念，质点到时间内的位移为。
1.3 舰载飞机降落到甲板上后为了尽快停止采用降落伞制动．飞机刚落到甲板上时，，，设飞机制动时加速度，为正值常量．求飞机速度随时间的变化规律．
解由已知条件知。
将上式分离变量，使左侧仅有变量，右侧仅有变量，得到。
做不定积分。
可得。把初始条件时代入上式，确定积分常数，所以。
即．1.4 质点沿轴运动，其加速度，时、，其中、为正值常量．求此质点的运动学方程．
解由可得。作定积分，由初始条件时确定积分下限。
把上式右侧积分变量换为。
则得到。再由得到。
做定积分，由初始条件时确定积分下限。
即为质点运动学方程．
1.5 质量为的质点，运动学方程为（国际制单位），求证质点所受合力为恒力．
证对运动学方程求时间导数。
可见质点所受合力为恒力．
1.6 质量为的质点沿轴，在合力作用下运动；已知时质点位于处，并以速率沿轴正向运动．求此质点的运动学方程．
解根据牛顿第二定律可得。
作积分。得。
由时定出积分常数，所以．
根据，可得。
积分，并用时定积分常数，则求出质点的运动学方程为。
1.7 跳水运动员沿竖直方向以速度入水，入水后浮力与重力抵消，受水的阻力与速率平方成正比，，为运动员质量．求入水后运动员速度随时间的变化规律．
解以运动员入水处为原点，竖直向下建立坐标系．根据牛顿第二定律有。
即 分离变量并积分。
即可求出。也可以表示为．
1.8 实验测出云雾中水滴半径．当物体在空气中以很小的速率（）运动时，所受阻力可用估算．（１估算的水滴在空气中降落的终极速度；（２根据估算结果说明的水滴可以停留在空中．
解物体降落达到终极速度后，所受重力与空气阻力大小相等，即。
把和代入，估算出。
终极速度很小，可跟随气流浮动，形成云雾而停留在空中．
1.9 当物体在空气中以较大的速率运动时，所受阻力可用估算．试估算的水滴在空气中降落的终极速度．
解物体降落达到终极速度后，所受重力与空气阻力大小相等，即。
把和代入，估算出．
1.10 跳水运动员由高处下落，设运动员入水后重力与浮力抵消，受水的阻力与速度平方成正比，比例系数，为运动员质量．求运动员速率减为入水速率的时，其入水深度．（国际制单位）
解以运动员入水处为原点，竖直向下建立坐标系．根据牛顿第二定律有。
即为。作变换。
则得到。分离变量的。
以刚入水时、为积分下限，以、为积分上限，则。
即可求出时入水深度为。
1.11 以初速度为把质点竖直向上抛出，设空气阻力与质点速率成正比，，为正值常量．求质点的运动学方程．
解以抛出点为原点，竖直向上建立坐标系．质点受重力和空气阻力．根据牛顿第二定律有。
分离变量并积分。
代入初始条件时，定出积分常数。
于是。所以。
再积分一次，用初始条件时定积分常数，可得。
所以，质点的运动学方程为。
由上述结果可看出时，（终极速度），．
1.12 已知质点所受合力为（国际制单位），求在到时间内合力对质点的冲量．
解到时间内合力对质点的冲量为。
1.13 质量为的球以速率沿水平方向飞来，经球棒打击后竖直向上飞出，已知球被打击后上升最大高度为（忽略空气阻力），求棒对球的冲量．如果打击时间为，求棒对球冲击力的平均值．
解建立坐标系，轴沿球初始速度方向，轴竖直向上．
先讨论球被棒打击后的运动，球仅受重力，作匀变速运动，可知。
当时球达到最大高度．根据求出，代入。
得到。因，略去，可求出．
在碰撞中根据动量定理。
由于，，所以棒对球的冲量。
棒对球冲击力的平均值。
1.14 飞机以的速度飞行，撞到一只质量为的鸟，鸟的长度为．假定鸟撞上飞机后随同飞机一起运动，试估算它们相撞时的平均冲击力的大小．为了安全，机场需要驱逐飞翔在机场附近的鸟．
解由于鸟飞行速度不大，认为鸟与飞机碰撞前静止．鸟与飞机碰撞后，鸟与飞机以共同速度运动．所以鸟在碰撞中所受冲量的大小约为。
飞机以的速度飞行，鸟的长度为，故鸟与飞机碰撞的时间约为。
因此鸟在碰撞中所受平均冲击力的大小约为。
根据牛顿第三定律可知，飞机受鸟施与的平均冲击力的大小约为，足以使飞机受到毁灭性的打击．
1.15 质量为的质点在平面内运动，其运动学方程为，、、均为常量．求（1）质点对轴的角动量；（2）质点所受对轴的合力矩．
解对运动学方程求时间导数，可得。
所以质点对轴的角动量。
因为常量，由对的角动量定理，可知质点所受对轴的合力矩。
1.16 如题图1.16所示，小球系于不可伸长的轻绳的一端，绳经点穿入竖直小管．开始小球绕小管在水平面内做半径为的圆周运动，每秒转两圈．再由绳的端将绳拉入小管，拉绳后小球在水平面内做半径为的圆周运动．求拉绳以后小球每秒所转之圈数题图1.
16解在拉绳过程中，因为小球所受重力与轴平行、绳拉力与轴相交，对轴力矩均为零，所以在拉绳过程中小球对轴角动量守恒。
拉绳前，每秒转两圈，故．设拉绳后，每秒转圈，则．把和代入角动量守恒的方程，得到。
即可求出拉绳后小球每秒转圈．
1.17 （1）证明力为保守力；（2）质点沿轴由运动到，试用两种方法计算力对质点所作的功．
解 （1）由于在位移中所作元功。
可以表示为只与位置有关的标量函数的微分，所以此力为保守力．
2）方法一：质点沿轴由运动到，对质点所作的功为。
方法二：因为保守力，引入势能，则。
1.18 如题图1.18所示，一个劲度系数为的弹簧，一端固定于点，另一端与质量为的质点相连．弹簧处于自由伸张状态时，质点位于竖直面与半径为的半圆柱面的交点处．质点在力的作用下，由点从静止开始运动到光滑半圆柱面的顶点，到达点时速率为．求力对质点所做的功题图1.
18解在质点由到点的过程中，所受重力和弹簧弹性力为保守力，以点为重力势能及弹性势能零点．质点受面的支撑力不作功，设力作功为．由质点的机械能定理。
可得。1.19 接1.18题．质点到达点后，力被撤除，求质点运动到之间的平衡位置时的速率．
解质点平衡时， ，即质点的平衡位置位于点下方处．
在质点由到平衡位置的过程中，由于受重力和弹簧弹性力为保守力，受面的支撑力不作功，所以机械能守恒．以点为重力势能及弹性势能零点，则。
即可求出质点运动到之间的平衡位置时的速率。
1.20 如题图1.20，质量为的小球，用弹性绳在光滑水平面上与固定点相连．弹性绳劲度系数为，自由伸张长度为．小球初位置（点）和初速度如图所示．当小球速率变为时，它与点距离最大且等于．求初态与末态之速率和． 题图1.
20解小球在水平面上仅受弹性绳弹性力，弹性力作用线过，所以小球在运动过程中对过的竖直轴角动量守恒；注意到小球与点距离最大时其速度与弹性绳垂直；则。
小球在水平面内仅受弹性绳弹性力，弹性力为保守力，因此小球在运动过程中机械能守恒，以弹性绳自由伸张时为弹性势能零点；则
联立求解上述二式即可求出，．
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