第二章导数与微分。
第一节导数概念。
一、填空题。
1.写出导数定义的等价形式： .
2.设，则 1 .
3.设，存在，则。
4.设，则 0 ， 1 ， 不存在 .
5.曲线在点处的切线方程为。
二、单项选择题。
1.在处左导数和右导数存在且相等是在处可导的。
c 条件。a．必要非充分 b.充分非必要 c．充分必要 d. 既非充分又非必要。
2.已知，则 c .
abcd.1
3.在点处的导数是 d .
abcd.不存在
4.设，则 c .
abcd.
5.设，在处可导，，则是的 b .
a．连续点 b.第一类间断点 c.第二类间断点 d.不能确定。
6.曲线上点 b 的切线平行于轴。
a． b. c. d.
三、解答题。
1.讨论函数在处的连续性和可导性。
解：，故在处连续。
，所以在处不可导。
2.设，当取何值时在点可导？
解：，，由题意知。
在连续，故；，，又在点可导，所以，故，满足，即，.
3.求曲线在处的切线方程和法线方程。
解：，故曲线在处的切线方程为：，即，法线方程为：，即。
第二节函数的求导法则。
一、填空题。
2.已知，则。
3.设，则。
4.设，则。
5.曲线在点处的切线方程为。
6.设，且可导，则。
二、单项选择题。
1.设，则 b .
abcd.
2.设，则 c .
a. b. c. d.
3.设，则 c .
a. b. c. d.
4.设，则 b .
a. b. c. d.
5.设是的反函数，且，则 d .
abcd.
三、求下列函数的导数。
解： .
解：解：，故。四、解答题。
1.已知，求。
解：当时，；当时，；综上。故。
2.设可导，计算函数的导数。
解： .第三节高阶导数。
一、填空题。
2.设，则。 3.设，则。
4.设，则。
5.设，其中存在，则。
二、单项选择题。
1.设，则 b .
abcd.
2.设，则 c .
ab. cd.
提示：先将化为。
3.已知具有任意阶导数，且，则当为大于的正整数时，的。
阶导数是 a .
a. b. c. d.
提示：求导后代入已知条件递推。
三、解答题。
1.，求。解：，.
2.设，计算。
解：，故。3.设，计算。
解：设，，则，，，代入莱布尼兹公式得：
4.设，其中二阶可导，求。
解：，第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率。
一、填空题。
1.设函数由方程所确定，则。
2.设函数由方程所确定，则 2 .
3.设函数由方程所确定，则。
4.由参数方程所确定的函数的导数 1 .
5.曲线在处的切线方程为。
二、单项选择题。
1.设函数由方程所确定，则 c .
a. b. c. d.
2.设，其中是可导函数，则 b .
ab. c. d.
3.由参数方程所确定的函数的函数的二阶导数 b .
a. b. c. d.
4.设由参数方程所确定，则 b .
ab. c. d.
三、解答题。
1.求由方程所确定的隐函数的导数。
解：对方程两边同时求导，得，化简得：，即。
2.，求，.
解： ，3.设，利用对数求导法求。
解：两边取对数得：，两边求导得：
故。4.一正圆锥体的底部半径以速率增加，而它的高以的速率减小，求该圆锥在半径为，高为时的体积变化率。
解：底部半径，高，且有，锥体体积为，将，代入得，故体积变化率为。
第五节函数的微分。
一、填空题。
1.设，则。
2.设，则。
4.设，则。
5.设，其中可微，则。
6.由方程所确定的函数的微分。
二、单项选择题。
1.设，则 b .
a. b. c. d.
2.设，则 b .
abcd.
3.下列式子中正确的是 d .
ab. cd.
三、解答题。
1.求下列函数的微分。
解：（1）
2.求由所确定的函数的微分。
解：两边取对数：，两边取微分。
3.求参数方程所确定的函数的微分。
解：，故。第二章自测题。
一、填空题（每小题3分，共15分）
1.设在可导，且，则 -1 .
2.设，则。
3.设，其中可导，则。
4.设，则 -1 .
5.曲线在点的切线方程为。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1.下列函数中，在处可导的是 d .
a. b. c. d.
2.设在处可导，且，则 a .
abcd.
3.设函数在区间内有定义，若当时恒有，则是的 c .
a.间断点b.连续而不可导的点。
c.可导的点，且 d.可导的点，且。
4.设，则在处的导数 d .
abcd.不存在。
5.设函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为，则 d .
abcd.
三、解答题（共70分）
1.求下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分）
1)，求。解： .
2) ，求。解：
3) ，求。
解：两边取对数得，两边求导数，得。
4) ，求。
解：两边取对数得；两边求微分得。
即。2.求下列函数的二阶导数（每小题6分，共12分）
解： ，
解：， 3.设在可导，试求与。（本题8分）
解：首先，，因为在处连续，故，其次， ，由于在处可导，故，联立两个方程得，.
4.设，求。（本题7分）
解：故，由于在，时均可导，故。
5.设函数由方程所确定，求。（本题7分）
解：方程可变形为，两边求微分，得。
故。6.设由参数方程确定，求。（本题8分）
解：，7.求曲线在处的切线方程和法线方程。（本题8分）
解：，故。当时，.
故曲线在处的切线方程为，即，法线方程为，即。
第二章答案
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