第三章课后作业

一、必做作业：

1．用两种方法求下列函数的极值：

解：第1种方法利用求导：,，令，得到：，当时，，取得极小值且；当时，，取得极大值且；

第二种方法利用初等解法：由于极值的概念是一个局部性的概念，是极值点处的函数值与其附近的函数值进行比较而得出的概念。因此，令：

比较系数得到：

由①得，代入②得，故，。

若，则，，代入③得，从而有：

当在1的附近，显然有，又；所以：，即函数在取得极小值-1.

若，则，，代入③得，从而有：

当在-1的附近，显然有，又；所以：，即函数在取得极大值3.

解：第1种方法利用求导：,，令，得到：，当时，，取得极小值且；当时，，取得极大值且；

第二种方法利用初等解法：由于极值的概念是一个局部性的概念，是极值点处的函数值与其附近的函数值进行比较而得出的概念。因此，令：

比较系数得：

由①得，代入②得，故，。

若，则，，代入③得，从而有：

当在2的附近，显然有，又；所以：，即函数在取得极小值-19.

若，则，，代入③得，从而有：

当在-1的附近，显然有，又；所以：，即函数在取得极大值8.

2．问当取何值时，取得最小值．

解：先求二次函数的偏导数，并令，解得，此为的驻点，且在上是连续的，因此在点（2，-1）上取得最小值2。即当时，取得最小值2.

3．有一个繁华的商场，一天之中接待的顾客数以千计，川流不息．如果商场有一个重要广告，想使所有的顾客都能听到，又已知当天任意的3个顾客中，至少有两个在商场里相遇．问商场至少广播几次，就能使这一天到过商场里的所有顾客都能听到．

解：顾客人数为n=1,2时，已知条件无法用上。因此从n=3考虑：

当第一个顾客到来时，为了使广播的次数少一些，可以先不播，一直等到有人要离开商场时，则必须开播。可见，第一次广播应在第一个顾客将离开而未离开商场之前。第一次开播时，第位顾客可能到了，也可能未到，考虑最坏的情况，他们还未进来或还未全进来，那么第二次开播则应在第三个顾客进来之后。

而第二个顾客根据条件则知道，他一定会在第一个顾客离开之前进来，或在第三个顾客进来之后才离开，因此，他一定听到广播。所以，至少播2次就可以了。

这个对任意的也成立。设：第一个离去的顾客为a，最后一个进来的顾客为b，若按上述方法广播2次之后，仍有顾客c没听见，则c必在a离去之后才进来，且在b进来之前就离去，于是c与a、b均未相遇。

这与已知条件矛盾。所以，商场至少需要广播2次，当天全体顾客都可以听到了。

4．解不等式。

解：原式可化为：① 由于，因此，只要，①式即可成立。因此。

1）当时，不等式②两边均为正数，两边平方符号不变，即。

2）当时，，从而不等式②不成立，即无解。

3）当时，，从而不等式②恒成立，即不等式的解为。

4）当时，不等式②两边均为负数，两边平方符号改变，即。

综上所述，可以知道不等式的解集为。

5．设求证：

证：原不等式等价，即要证明：。

设函数，求得，，由于，因此，在定义域上为凹函数，则由凹函数的性质可知：

从而有。成立，即，因此，可以知道原不等式成立，即证明。