1．设数列满足其中为实数，且。
ⅰ）求数列的通项公式。
ⅱ）设，,求数列的前项和；
1．解 (1)
当时，是首项为，公比为的等比数列。，即。当时，仍满足上式。
数列的通项公式为。
(2) 由（1）得。
2．如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，
ⅰ）证明平面；（ⅱ求异面直线与所成的角的大小；
ⅲ）求二面角的大小．
ⅰ）证明：在中，由题设，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．
ⅱ）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角．在中，由余弦定理得。
由（ⅰ）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形，故．
所以异面直线与所成的角的大小为．
ⅲ）解：过点作于，过点作于，连结．
因为平面，平面，所以．又，因而平面，故为在平面内的射影．由三垂线定理可知，．从而是二面角的平面角．
由题设可得，于是在中，．
所以二面角的大小为．
3．a、b两个投资项目的利润率分别为随机变量x1和x2。根据市场分析，x1和x2的分布列分别为。
1）在a、b两个项目上各投资100万元，y1和y2分别表示投资项目a和b所获得的利润，求方差dy1、dy2；（2）将x（0≤x≤100）万元投资a项目，100－x万元投资b项目，f(x)表示投资a项目所得利润的方差与投资b项目所得利润的方差的和。求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值。 （注：
d(ax + b) =a2dx）
解：（ⅰ由题设可知和的分布列分别为，ⅱ）
当时，为最小值．
4.已知曲线c1：，曲线c2：。
1）指出c1，c2各是什么曲线，并说明c1与c2公共点的个数；
2）若把c1，c2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，。写出，的参数方程。与公共点的个数和c1与c2公共点的个数是否相同？说明你的理由。
6．解：（ⅰ是圆，是直线．的普通方程为，圆心，半径．
的普通方程为．因为圆心到直线的距离为，所以与只有一个公共点．
ⅱ）压缩后的参数方程分别为。
（为参数）；：t为参数）．
化为普通方程为：：，联立消元得，其判别式，所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．
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