3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）解：u(x,t)=f(x-at)+g(x+at)令 x-at=0 得 =f（0）+g（2x）令 x+at=0 得 =f（2x）+g(0)所以f(x)= g(0).
g（x）=-f(0).
且f（0）+g(0)=
所以 u(x,t
即为古尔沙问题的解。
9．求解波动方程的初值问题。
解： 所以。
3混合问题的分离变量法。
1.用分离变量法求下列问题的解：
解：边界条件齐次的且是第一类的，令。
得固有函数，且。
于是 今由始值确定常数及，由始值得。
所以当。因此所求解为。
§4 高维波动方程的柯西问题。
1．利用泊松公式求解波动方程。
的柯西问题
解：泊松公式。现 且
其中 计算。
所以。u(x,y,z)=
即为所求的解。
3.求解平面波动方程的柯西问题：
解： 由二维波动方程柯西问题的泊松公式得：又。因为。
所以。又。
于是。即为所求的解。
6．试用第七段中的方法导出平面齐次波动方程。
在齐次初始条件。
下的求解公式。
解：首先证明齐次化原理：若是定解问题。
的解，则即为定解问题。
的解。显然，
（）.所以。
又。因为w满足齐次方程，故u满足。
齐次化原理得证。由齐次方程柯西问题解的泊松公式知。
所以。即为所求的解。
所以 2 混合问题的分离变量法。
1．用分离变量法求下列定解问题的解：
解：设代入方程及边值得。
求非零解得
对应ｔ为 因此得。
由初始值得
因此。故解为
．用分离变量法求解热传导方程的混合问题。
解：设代入方程及边值得。
求非零解得 n=1,2,……
对应ｔ为。故解为
由始值得。因此
所以 1．证明拉普拉斯算子在球面坐标下，可以写成。
证：球坐标与直角坐标的关系：
为作变量的置换，首先令，则变换（1）可分作两步进行。
由（2） 由此解出。
再微分一次，并利用以上关系，得。所以。
再用（3）式，变换。这又可以直接利用（5）式，得。
再利用（4）式，得。所以。即
6.用分离变量法求解由下述调和方程的第一边界问题所描述的矩形平板上的稳定温度分布：
解：令代入方程 ，得。
再由一对齐次边界条件得。
由此得边值问题
由第一章讨论知，当时，以上问题有零解。
又。求出通解，得。
所以。由另一对边值，得。
由此得，解得。
代入的表达式得。
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