2009理论物理基础作业答案。
一理论力学部分。
1.2.8 尖劈a的质量为m1，劈角为α，一面靠在光滑竖直墙上，另一面与质量为m2的光滑棱柱接触。
b可沿光滑水平面滑动，见下图所示。利用拉格朗日方程求a和b的加速度aa和ab。
解：如右图所示建立坐标系，系统的自由度为1，选为y
动能。势能v=-m1gy (由于b的重力势能不变，故不考虑)
约束条件 拉格朗日函数。
根据拉格朗日方程
故 1.2.11 一质量为m的光滑小楔子，沿质量为m，且与水平面成α角的斜面滑动。求斜面可沿水平面做无摩擦滑动时的拉格朗日方程。
解：如右图所示，系统只做平面运动，故其坐标数n=4
而约束条件为(将小楔子视为质点)
因而约束数k=2，故系统自由度s=n-k=2，将广义坐标选为x1，x2。
动能。势能。
故拉格朗日函数为：
将上式代入拉格朗日方程(i=1,2)
可得。解上面的方程可得加速度。
1.6.3 光滑水平面上有一弹簧，一端固定于o点，另一端连着一质量为m的滑块。
弹簧的自然长度为l0，弹性系数为k。设t=0时，弹簧长为l0，滑块有与弹簧垂直的初速度v0，试求此滑块运动的正则方程。
解：由右图可知，直角坐标(x, y)与广义坐标(r,θ)的关系。
故动能。势能。
拉格朗日函数。
则广义动量为。
因此有，哈密顿函数。
代入正则方程可得。
1.6.9 试用哈密顿原理求行星在万有引力作用下的运动微分方程。
解：由图可见直角坐标(x, y, z)与广义坐标(r,,θ的关系有。
动能。势能(m为行星质量)
拉格朗日函数为。
则广义动量。
因此有。哈密顿函数为。
代入正则方程可得运动微分方程。
二电动力学部分。
2.1.11 有一个内外半径分别为r1、r2的空心均匀介质球壳，介质的介电常数是ε，介质均匀带电，自由电荷密度是ρf，求。
1)空间各点的电场；
2)介质的极化电荷体密度ρp；
3)介质的极化电荷面密度σp。
解：(1)根据球对称性，空间各点的电位移和电场强度只与半径有关，方向都为径向方向。
根据高斯定理。
当r当r1当r>r2时，
2) 由和可得。
故当r1r2，ρp=0
3)已知 由于电位移矢量和电场强度方向一致，且与径向方向相同。
因此， 故在r=r1处，；在r=r2处，
2.1.13 半径为a的金属球带电q, 它被半径为b和c(b(1)空间各点的d和e；
2)验证在界面上d满足衔接条件；
3)界面上的极化电荷面密度σp；
4)介质内的极化电荷体密度ρp；
5)介质总的极化电荷qp。
解：(1)由于球对称性可知，空间各点的电位移只与半径有关，即d=d(r)
根据高斯定理。
当r当a当b当r>c时，4πr2d=q ，
2)由于法线方向与电位移矢量方向一致。
故电位移矢量的衔接条件为，在ab界面上，
在bc界面上，
在c层与真空的界面上，
3)已知 由于电位移矢量和电场强度方向一致，且与法线方向相同。
因此， 故
4)由和可得。
由于自由电荷只分布在金属球表面，故ρf=0，因此可得ρp=0
5)由上一问易知，介质总的极化电荷。
2.1.16 内外半径分别为r1、r2的长直导体柱壳，沿轴向有稳恒均匀传导电流jf，导体壳的磁导率为μ，壳层外是真空，求(1)空间各点的b；(2)磁化面电流密度αm。
解：(1)根据麦克斯韦方程组。
当r当r1故。
当r>r2时，，故。
2)磁化强度。
磁化面电流密度，(n从介质1指向介质2)
在内表面上r=r1，m1=0，，故。
在外表面上r=r2，
2.2.15在无限大接地导体平板的上侧有一个点电荷q，位于(x,y,z)=(0,0,a)点，1)证明：导体板上感生电荷的面密度是。
2)求导体板对点电荷q的作用力，3)若把点电荷q沿z轴移至无限远处，求导体板上的感生电荷对q所做的功w。
解：(1)如右图所示，电荷密度用δ函数表示，电势满足泊松方程：
……(a)电势的边界条件是b)
取无穷远处电势为零：……c)
决定导体板上面电荷分布的是…(d)
根据电像法，令像电荷在z=-a处，且q’=-q，于是有。
…(e)e)式满足(a)(b)(c)式，所以由唯一性定理，这个解正是我们所要求的解，把它代入(d)式中可得出导体板上的电荷面密度。
2)导体板对点电荷q的作用力相当于像电荷对点电荷q的作用力，故可得。
3)把点电荷q沿z轴移至无限远处，导体板上的感生电荷对q所做的功w相当于像电荷对q所做的功，当电荷q移至无限远处时，像电荷也移至无限远。
像电荷对电荷q的作用力为。
故可得。课外附加题1 假定粒子在∑系中以c/4的恒定速度相对∑系运动，其运动轨道与x轴成60角。若∑系沿x轴相对于∑系的速度为0.8c。求粒子在∑系中的运动方程。
解：在∑系中，粒子在xoy平面中运动(如右图所示)。
根据速度反变换公式可得。
于是可得，在∑系中粒子运动方程为(x0，y0为常数)
课外附加题2 在地面上有一跑道长100m，运动员从起点跑到终点用时10s，现求从以v=0.8c速度向前飞行的飞船中观测运动员跑过的距离、所用的时间以及运动员的平均速度？
解：设地面为σ系，飞船为σ’系，在σ系中的坐标为(x, t)，σ系坐标为(x’, t)
在σ系中，运动员在起点坐标为(0,0)，在终点坐标为(100,10)
根据洛伦兹变换可知。
在σ’系中，运动员的起点坐标为(0, 0)，终点坐标为(,)
故， 所以在σ’系中观测的运动员平均速度。
课外附加题3 两个相距l的点光源，正好可用一长度为l的挡板将它挡住，现使挡板以速度v运动，试问挡板能否同时挡住这两个光源？
解：以点光源所在坐标系为σ系，以挡板所在坐标系为σ’系。
1)若观测者在σ系中，光源宽度l1=l
根据长度缩短原理，挡板宽度。
l1>l2，故不能挡住。
2)若观测者在σ’系中，根据长度缩短原理，光源宽度。
挡板宽度l2=l
l1课外附加题4 一个人扛一个固有长度为l的梯子，以相对地面速度v冲进一个固有长度为l的厂房中，当梯子末端刚进厂房时，梯子前段将处在什么位置？
解：以厂房所在坐标系为σ系，以梯子所在坐标系为σ’系。
1)若观测者在σ系中，厂房长度l1=l
根据长度缩短原理，梯子长度。
此时梯子前端距厂房墙壁。
1)若观测者在σ’系中，根据长度缩短原理，厂房长度。
梯子长度l2=l
此时梯子前端穿过墙壁。
三热力学与统计物理部分。
4.1.14 理想气体分别经等压和等容过程，温度t1由t2至，试证明前者的熵增为后者的γ倍。设γ=cp/cv=常数。
证明：等压过程。
dp=0，故
等容过程。dv=0，故
最终可得，
5.1.4 利用麦克斯韦速率分布证明速率方差。
证明：根据概率统计的知识可知。
已知麦克斯韦速率分布
故。5.2.
3 今有100个相同的近独立粒子组成的系统。粒子有能量为的三个态，三态简并度相同。已知系统的总能量为100，求三个态上的粒子分布数和这种分布的微观态数，并与能量为与的两个态上各分布50个粒子的微观态数相比较(此时总能量未变)，能得出什么结论？
解：n1+ n2+ n3=100………1)
0 n1+ε n2+2ε n3=1002)
根据波尔兹曼分布3)
把(3)式代入(1)式得ωe-α(1+e-βεe-2βε)100
把(3)式代入(2)式得ωe-α(e-βε2e-2βε)100
于是可以得e-2βε=1β=0 n1= n2= n3=100/3
微观态数。对于第二种情况。
故其微观态数。
经计算可知，ω1>>ω2
说明波尔兹曼分布下的微观态数远大于其他情况下的微观态数，因此，波尔兹曼分布出现的概率最大。
四量子力学部分。
6.1.7 求下列粒子的德布罗意波的波长，1)在室温(300k)下以平均热动能e=3kt/2运动的中子；
2)以30ms-1运动的0.1kg的高尔夫球。
解：(1)能量e=3kt/2的中子，温度t=300k，则动量p=(2me)(中子质量m=1.6710-27kg)，波长。
2)飞行速度为30ms-1，质量为0.1kg的高尔夫球，动量p=mv，则：
波长。6.1.8(1)一个具有5(mev)能量的α粒子穿过原子时，是否可以用经典力学处理？
2)设枪弹质量为0.02(kg)，飞行速度为1000ms-1，求其德布罗意波长，并讨论有无必要用量子力学来处理。
解：德布罗意波长为。
当λ<(1)具有5(mev)能量的α粒子其动量p=(2mαe)(α粒子质量mα=6.6410-27kg)
德布罗意波长。
满足λ<(2) 飞行速度为1000ms-1，质量为0.02(kg)的子弹，p=mv，则：
德布罗意波长。
显然波长太小无法测量，故无需用量子力学来处理。
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