第2章推理与证明。
一、本章知识结构。
二、内容安排。
本章包括3节，约需8课时，具体分配如下（仅供参考）：
2 1 合情推理与演绎推理约3课时。
2 2 直接证明与间接证明约2课时。
2 3 数学归纳法约2课时。
章节复习小结约1课时。
三、重点知识梳理。
1．归纳推理与类比推理的区别与联系。
1）联系：归纳推理与类比推理都是合情推理，且归纳推理与类比推理得出的结论都不一定可靠．
2）区别：归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出这类事物的全部对象都具有这些特征的一种推理，它是由特殊到一般、由部分到整体的推理．而类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．例如，已知甲、乙两类对象都具有性质，且甲还具有性质d，可以猜想乙也具有性质d，这种推理就是类比推理．类比推理是由特殊到特殊的推理．
2．合情推理与演绎推理的区别与联系。
1）区别：合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．常用的合情推理有归纳推理和类比推理，由合情推理得到的结论都仅仅是猜想，未必可靠．演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理是由一般到特殊的推理．由演绎推理得出的结论都是可靠的．在数学中，证明命题的正确性，都要用演绎推理．演绎推理的一般模式是三段论．
2）联系：合情推理和演绎推理在发现、证明每一个数学结论的过程中都起着非常重要的作用．在数学结论及其证明思路的发现中，主要依靠合情推理．而数学结论的证明、数学体系的建立，则主要依靠演绎推理．因此在数学学科的发展中，这两种推理都是不可缺少的．
3．综合法与分析法的区别。
综合法与分析法是证明命题的两种最基本最常用的方法，用这两种方法证明命题的思路截然相反．综合法是利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证（即演绎推理），最后推导出所要证明的结论成立．而分析法则是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件．综合法“由因导果”，而分析法是“执果索因”．在实际应用中，经常要把综合法与分析法结合起来使用．
4．反证法证题的一般步骤。
1）假设命题的结论不正确，即假设结论的反面正确；
2）从这个假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果；
3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
5．如何正确选择综合法、分析法、反证法。
1）综合法常用于由已知推结论较易找到思路时．
2）分析法常用于条件复杂，思考方向不明确，运用综合法较难证明时．
3）单纯应用分析法证题并不多见，常常是用分析法找思路，用综合法写过程，因为综合法宜于表达，条理清晰．
4）注意分析法的表述方法：“要证明…，只需证明…，因为…成立，所以…成立”，“为了证明…，只需证明…，即…，因此只需证明…”．
5）在证明一些否定性命题，惟一性命题，或含有“至多”，“至少”等字句的命题时，正面证明较难，则考虑反证法，即“正难则反”．
6）利用反证法证题时注意：①必须先否定结论，当结论的反面呈现多样性时，必须列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的．②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
一、复习：合情推理。
归纳推理从特殊到一般。
类比推理从特殊到特殊。
从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳。类比――提出猜想。
⑴大前提---已知的一般原理；
小前提---所研究的特殊情况；
结论---据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式。
m—p（m是p） （大前提）
s—m（s是m） （小前提）
s—p（s是p） （结论）
3.三段论推理的依据，用集合的观点来理解：
若集合m的所有元素都具有性质p,s是m的一个子集，那么s中所有元素也都具有性质p.
五、数**用。
解：二次函数的图象是一条抛物线 （大前提）
例2.已知lg2=m,计算lg0.8
解 （1） lgan=nlga(a>0大前提。
lg8=lg23———小前提。
lg8=3lg2———结论。
lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提。
lg0.8=lg(8/10)——小前提。
lg0.8=lg(8/10)——结论。
例3.如图；在锐角三角形abc中，ad⊥bc, be⊥ac,d,e是垂足，求证ab的中点m到d,e的距离相等。
解： (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形，——大前提。
在△abc中，ad⊥bc,即∠adb=90°——小前提。
所以△abd是直角三角形——结论。
2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提。
因为 dm是直角三角形斜边上的中线，——小前提
所以 dm= ab——结论
同理 em= ab
所以 dm=em.
第4课时 2.2.1综合法与分析法。
教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点。 “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
教学过程：一、学生**过程：
证明的方法。
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．
证明：(用分析法思路书写)
要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)
只需证a2-2ab+b2＞0成立，即需证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
(以下用综合法思路书写)
∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0
亦即a2-ab+b2＞ab
由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab
即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证。
例2.若实数，求证：
证明：采用差值比较法：
例3.已知求证。
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：（1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设。
从而原不等式得证。
2）商值比较法：设。
故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。
用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点。 “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
第5课时 2.2.2反证法。
教学过程：学生**过程：
反证法：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：
与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
例1.求证：不是有理数。
例2.已知，求证：（且）
例3.设，求证。
证明：假设，则有，从而。
因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不。
等式成立。例4.设二次函数，求证：中至少有一个不小于。
证明：假设都小于，则 （1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有。
1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？
例5.设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于。
证：设(1 a)b >,1 b)c >,1 c)a >,则三式相乘：ab < 1 a)b(1 b)c(1 c)a <
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
同理：, 以上三式相乘： (1 a)a(1 b)b(1 c)c≤ 与①矛盾，∴原式成立。
例6.已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0
又由a + b + c > 0, 则b + c = a > 0
ab + bc + ca = a(b + c) +bc < 0 与题设矛盾。
又若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0
巩固练习：第83页练习
课后作业：第84页
教学反思：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：
与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
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