[基础达标]
对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中真命题是___填序号)．
若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
若λa＝0，则λ＝0或a＝0；
若a2＝b2，则a＝b或a＝－b；
若a·b＝a·c，则b＝c.
解析：①中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0或b＝0.
中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b.
中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c.
答案：②已知向量a，b满足条件：|a|＝2，|b|＝，且a与2b－a互相垂直，则a与b的夹角为___
解析：因为a与2b－a互相垂直，所以a·(2b－a)＝0.
即2a·b－a2＝0.所以2|a||b|cos〈a，b〉－|a|2＝0，所以cos〈a，b〉＝，所以a与b的夹角为45°.
答案：45°
已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b
解析：|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝13.
答案：已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1－e2
解析：|2e1－e2|2＝4e－4e1·e2＋e＝4－4×1×1×cos 60°＋1＝3，∴|2e1－e2|＝.
答案：若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－()b，则向量a与c的夹角为。
解析：a·c＝a·[a－()b]＝a·a－()b·a＝a·a－a·a＝0，∴a⊥c.
答案：90°
已知空间向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为___
解析：∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，a·b＋b·c＋c·a＝－＝13.
答案：－13
已知a＝(x，2，0)，b＝(3，2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是。
解析：cos〈a，b〉＝，夹角为钝角，∴cos〈a，b〉<0，且a，b不共线，3x＋2(2－x)<0，∴x<－4.
答案：x<－4
设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为。
解析：a·b＝0，且a，b，c均为单位向量，|a＋b|＝，c|＝1，(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2.
设a＋b与c的夹角为θ，则(a－c)·(b－c)＝1－|a＋b||c|cos θ＝1－cos θ.
故(a－c)·(b－c)的最小值为1－.
答案：1－如图所示，已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于1，点e、f分别是ab、ad的中点，计算：
解：(1)·＝
||·cos〈，〉
×1×1×cos 60°＝.
||·cos〈，〉
×1×1×cos 120°＝－
已知如图所示的空间四边形oabc中，∠aob＝∠boc＝∠aoc，且oa＝ob＝分别是oa，bc的中点，g是mn的中点．求证：og⊥bc.
证明：由线段中点公式得：
(＋＋又＝－，2－·－2－·)
(·－2－||2)，·cos∠aoc，＝|cos∠aob，且aob＝∠aoc，·＝0，即og⊥bc.
能力提升]已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是___
解析：法一：由已知，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，由此可知|a＋b|＝.
将(a－c)·(b－c)＝0展开得a·b－a·c－c·b＋c2＝0.
设a＋b与c的夹角为θ，则。
c|2＝(a＋b)·c＝|a＋b|·|c|·cos θ，即|c|＝cos θ.故当cos θ＝1时，|c|取最大值。
法二：因为(a－c)·(b－c)＝0，所以a－c与b－c互相垂直．又因为a⊥b，所以a，b，a－c，b－c构成的四边形是圆内接四边形，c是此四边形的一条对角线．当c是直径时，|c|达到最大值，此时圆内接四边形是以a，b为邻边的正方形，所以|c|的最大值为。
法三：因为a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可以以a，b为基底建立直角坐标系，a＝(1，0)，b＝(0，1)，设c＝(x，y)，则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)．
由(a－c)·(b－c)＝0得(1－x)(－x)－y(1－y)＝0，所以x2＋y2＝x＋y≤，从而≤，当且仅当x＝y＝1时取等号．
又|c|＝，故|c|的最大值为。
答案：在△abc中，已知＝(2，4，0)，＝1，3，0)，则∠abc
解析：∵＝2，－4，0)，＝1，3，0)，·2－12＋0＝－10，|＝2，|＝
cos〈，〉
∠abc＝135°.
答案：135°
如图，已知e是正方体abcd－a1b1c1d1的棱c1d1的中点，试求向量与的夹角的余弦值．
解：设正方体的棱长为m，a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝m，a·b＝b·c＝a·c＝0，又∵＝＋a＋b，＋＝c＋a，·＝a＋b)·(c＋a)＝m2，又∵|a1c1|＝m，||cos〈，〉
创新题)已知空间三点a(0，2，3)，b(－2，1，6)，c(1，－1，5)．
1)求以，为邻边的平行四边形的面积；
2)若|a|＝，且a与，均垂直，求向量a的坐标．
解：(1)由题意，可得：＝(2，－1，3)，＝1，－3，2)，cos〈，〉
sin〈，〉
所以，以，为邻边的平行四边形的面积为。
s＝||sin〈，〉14×＝7.
2)设a＝(x，y，z)．
由题意，得。
解得或。a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1)．
第3章作业
第3章栈和队列作业。1 若用一个大小为6的数组来实现循环队列，且当rear和front的值分别为0和3时，从队列中删除一个元素，再加入两个元素后，rear和front的值分别为多少？复旦大学98年 2和42 设栈s和队列q的初始状态为空，元素e1,e2,e3,e4,e5和e6依次通过栈s,一个元素出...
第3章作业
第3章统计数据的整理与显示。一 判断题 把 或 填在题后的括号里 1 能够对统计总体进行分组，是由统计总体中的各个单位所具有的 同质性 特点决定的。2 按数量标志分组，各组的变量值能准确地反映社会经济现象性质上的区别。3 按数量标志分组所形成的变量数列就是次数分布数列。4 由于离散型变量不能用小数表...
第3章作业
6 已知片内ram中，30h 38h，38h 40h，40h 48h，48h 90h。请分析下面指令，说明源操作数的寻址方式以及按顺序执行每条指令的结果。mov a 40h直接寻址方式a 40h 48h mov r0 a寄存器寻址方式r0 a 48h mov p1 f0h 立即寻址方式p1 0f0h...