一、定义：
绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，如果两端点的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度。
2、特点：沿杆或绳方向的速度分量大小必相等；
物体实际运动方向就是合速度的方向；
当物体实际运动方向与绳或杆成一定夹角时，可将合速度分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的两个分速度。
3、解题思路和方法：
先确定合运动的方向，即物体实际运动的方向，然后分析这个合运动所产生的实际效果，即一方面使绳或杆伸缩的效果；另一方面使绳或杆转动的效果。以确定两个分速度的方向，沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同。
4、题型分类。
1．基础题型。
例1】如图1所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为t，则此时。
a．人拉绳行走的速度为vcosb．人拉绳行走的速度为v/cosθ
c．船的加速度为d．船的加速度为。
解析：船的速度产生了两个效果：一是滑轮与船间的绳缩短，二是绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度进行分解如图所示，人拉绳行走的速度v人=vcosθ, a对， b错；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为t，与水平方向成θ角，因此tcosθ-f＝ma，解得：
，c正确，d错误。
答案：ac。
点评：人拉绳行走的速度即绳的速度，易错误地采用力的分解法则，将人拉绳行走的速度。即若按图3所示进行分解，则水平分速度为船的速度，得人拉绳行走的速度为v/cosθ，会错选b选项。
例2】如图4所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸，拉绳的速度为v，当拉船头的绳索与水平面的夹角为α时，船的速度是多少？
解析：方法1——微元分析法（不要求掌握）
取小量θ，如图5所示，设角度变化θ所需的时间为δt，取cd=cb，在δt时间内船的位移为ab，绳子端点c的位移大小为绳子缩短的长度ad。由于θ→0°，所以∠bda→90°。所以ad=abcosα①
又ad=vδt ②
ab=v船δt ③
由上述三式可得：v船=v/cosα
方法2——运动等效法（本节重点，必须掌握）
因为定滑轮右边的绳子既要缩短又要偏转，所以定滑轮右边绳上的a点的运动情况可以等效为：先以滑轮为圆心，以ac为半径做圆周运动到达b，再沿bc直线运动到d。做圆周运动就有垂直绳子方向的线速度，做直线运动就有沿着绳子方向的速度，也就是说船的速度(即绳上a点的速度)的两个分速度方向是：
一个沿绳缩短的方向，另一个垂直绳的方向。作矢量三角形如图6所示，v船＝v/cosα。
点拨：方法1利用几何知识构建三角形，找出在δt时间内绳与船的位移关系，进而确定速度关系；方法2利用了实际运动为合运动，按效果对船的速度进行分解。
例3】a、b两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体a以v1的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是α、β时，如图9所示。物体b的运动速度vb为（绳始终有拉力）
a． b． c． d．
解析：a、b两物体通过绳相连接，且两物体都是运动的，物体的实际运动速度是合速度，物体的速度都产生了沿绳方向和垂直于绳方向两个作用效果。设物体b的运动速度为vb，此速度为物体b合运动的速度，根据它的实际运动效果，两分运动分别为：
沿绳收缩方向的分运动，设其速度为v绳b；垂直绳方向的圆周运动，速度分解如图10所示，则有vb＝①
物体a的合运动对应的速度为v1，它也产生两个分运动效果，分别是：沿绳伸长方向的分运动，设其速度为v绳a；垂直绳方向的圆周运动，它的速度分解如图11所示，则有v绳a=v1cosα②由于对应同一根绳，其长度不变，故v绳b=v绳a③
根据三式解得：vb＝。选项abc错误d正确。
答案：d点评：此题涉及多个物体的速度分解，应用隔离法将每个物体的速度进行分解，再通过关联速度进行求解。
例4】如图14所示，一根长直轻杆ab在墙角沿竖直墙和水平地面滑动，当ab杆和墙的夹角为θ 时，杆的a端沿墙下滑的速度大小为v1，b端沿地面的速度大小为v2。则v1、v2的关系是( )
a．v1＝v2b．v1＝v2cosθ c．v1＝v2tanθ d．v1＝v2sinθ
解析：如图15所示，轻杆a端下滑速度v1可分解为沿杆方向的速度v1′和垂直于杆的方向速度v1″，b端水平速度v2可分解为沿杆方向的速度v2′和垂直于杆的方向速度v2″，由于沿杆方向的速度相等v1′＝v2′，由数学知识可知，v1′＝v1cosθ，v2′＝v2sinθ，v1＝v2tanθ。故c项正确。
答案：c点评：对于直杆的运动，一般将其两端的运动速度沿杆和垂直于杆的两个方向分解，两端速度沿杆的分量相等。
2、进阶题型。
例5】 一根长为l的杆oa，o端用铰链固定，另一端固定着一个小球a，靠在一个质量为m，高为h的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球a的线速度va（此时杆与水平方向夹角为θ）
解析：选取物与棒接触点b为连结点。（不直接选a点，因为a点与物块速度的v的关系不明显）.
因为b点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故b点的合速度（实际速度）也就是物块速度v；b点又在棒上，参与沿棒向a点滑动的速度v1和绕o点转动的线速度v2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v2=vsinθ.
设此时ob长度为a，则a=h/sinθ.
令棒绕o 点转动角速度为ω，则：ω=v2/a=vsin2θ/h.
故a的线速度va=ωl=vlsin2θ/h.
例6】如图所示，s为点光源，m为一平面镜，光屏与平面镜平行放置．so是一条垂直照射在m上的光线．已知so＝l，若m以角速度ω绕o点逆时针匀速转动，则转过30°时光线s′o在屏上移动的瞬时速度v的大小为（ ）
a．2lω b．4lω c．4lω d．8lω
解析：由光的反射的特点可知，当平面镜转动的角速度为ω时，反射光线转动的角速度为2ω；
设平面镜转过30°角时，光线反射到光屏上的光斑s′点，光斑速度为v，由图可知。
v＝， 而 v⊥＝r2ω＝2ω，
故 v＝，故abc错误，d正确
故选：d。点评：该题考查光的反射定律以及转动的角速度与线速度的关系，掌握运动的合成与分解，理解角速度与半径的关系，并结合几何关系解答即可。
例7】如图所示，在倾角为θ的斜面体a放在水平面上，不可伸长的细线一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块b相连，滑轮与墙面间的细线水平，滑轮与b物块之间的细线与斜面平行，当斜面沿水平面以速度v匀速运动时，b物块相对地面的速度大小为（ ）
a、v b、vsinθ c、vtanθ d、2vsin
解析：因b的上升的高度为：；
根据系统只有重力做功，机械能守恒定律，则有：
如下图所示，画阴影部分的三角形相似，依据余弦定理，再结合位移之比等于速度之比，可得：
则有： 故abc错误，d正确。
点评：本题考查力的平行四边形定则与平衡条件的应用，掌握运动的合成与分解与三角知识的内容，理解机械能守恒的条件，及其定律的运用，注意运用三角形相似，确定位移之比与速度之比是解题的关键。
例8】在光滑的水平面内建立如图所示的直角坐标系，长为l的光滑细杆ab的两个端点a、b被分别约束在x轴和y轴上运动，现让a沿x轴正方向以v0匀速运动，已知p点为杆的中点，杆ab与x轴的夹角为θ，下列关于p点的运动轨迹或p点的运动速度大小v的表达式正确的是（ ）
a、p点的运动轨迹是一条直线。
b、p点的运动轨迹是圆的一部分。
c、p点的运动速度大小。
d、p点的运动速度大小。
解析：设p点坐标为（x，y），则a、b点的坐标分别为（2x，0）、（0，2y），ab长度一定，设为l，根据勾股定理，有：
解得： 故p点的运动轨迹是圆，半径为l/2；a错误，b正确；
画出运动轨迹，如图：
速度v与杆的夹角α＝90°2θ；
由于杆子不可以伸长，故p点的速度沿着杆方向的分速度与a点速度沿着杆方向的分速度相等，故：
vcosα＝v0cosθ
vcos（90°2θ）＝v0cosθ
解得：v＝v02sinθ
故c错误，d正确；
故选：bd。
点评：本题关键是采用运动的合成与分解的方法进行研究，找出点p的运动方向是关键，较难。
例9】一轻杆两端分别固定质量为ma和mb的两个小球a和b（可视为质点）。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球a与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，b球的速度大小为v2，则（ ）
a、 b、 c、 d、
解析：根据题意，将a球速度分解成沿着杆与垂直于杆方向，同时b球速度也是分解成沿着杆与垂直于杆两方向。
则有，a球：v∥＝v1sinθ
而b球，v∥＝v2sinθ
由于同一杆，则有v1sinθ＝v2sinθ
所以v2＝v1，故c正确，abd错误；
故选：c。点评：考查运动的分成与分解的规律，学会对实际的分解，同时对动能定理理解，当然也可以使用机械能守恒定律，但需要对系统做出守恒的判定．
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