抢渡长江问题第二次作业

抢渡长江问题。

一．问题重述。

2023年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160m．据报载，当日的平均水温16.8℃，江水的平均流速为1.89 m/s．

参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14`8``

除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点．

假设在竞渡区域两岸为平行直线，它们之间的垂直距离为 1160 米，从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米。

需要解决的问题：

1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。

试说明2023年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。

2. 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游，他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 2023年和2023年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。

3. 若流速沿离岸边距离的分布为，每个区域有固定的水流速度 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴正向) ，游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。

4. 若流速沿离岸边距离为连续分布，如何处理这个问题。

5. 用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。

6. 你们的模型还可能有什么其他的应用。

二．提出问题。

1．游泳者的速度大小与方向应该怎样，才能使游到终点的时间最短；

2．考虑游泳者在水中水温，对气候的适应程度，个人身体素质等因素在比赛中的影响。

三．问题假设。

1.对于问题（1），（2）在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变；

2.对于问题（1）（2）竞渡区域每点的流速均相等；

3.江面宽度不变，即两岸是保持平行的；

4.游泳过程中游泳者之间互不影响。

四．问题分析。

建立下图的平面直角坐标系，作为渡江起点的武昌汉阳门为坐标原点，x轴与岸边重合，正方向与水流方向一致。用u表示游泳者的速度，v表示水流的速度即当日江水的平均流速1.89m/s，w为合速度，实际路线为s,水平位移为l,垂直位移是h。

如果v和w处处为常数，则从起点o到终点a的直线路程最短，显然当合速度w始终沿着oa的方向时，游泳时间t取最小值，即此时t=。根据物理学动力运动及速度与加速度的的相关知识可分析出，五．模型的的建立和求解。

问题一：由于假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 v=1.89 m/s．根据物理学动力运动及速度与加速度的的相关知识可分析出，游泳者的实际路线是一条直线，游泳者作匀速直线运动，再根据矢量的分解，给出路线；由于第一名的成绩为14分8秒（即t=848秒），s1)

t2)ucos3)

usin4)cos5)

以h=1160m,l=1000m,v=1.89m/s和第一名成绩t=848s代入，得。

即=117.50°，u=1.54m/s

u=1.54m/s。

以h=1160m,l=1000m,v=1.89m/s和u=1.5m/s代入，得=1220°，t=911s，即15分11秒。

问题（2）：

在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游，其速度为：

根据图，若游泳者始终以河岸边垂直方向游，速度为v1。

求得v1=2.1924m/s。由我们对世界纪录的查询，男子1500米目前世界上最好的成绩为14分34秒56，速度为1.

7m/s。因此，游泳者不可能达到那么快的速度，所以不可能到达终点。

注：现在的1500米自由泳世界纪录是14分34秒56，这是由澳大利亚名将格兰特·哈克特在2023年7月创下的。

2023年，游泳者需要达到的最小速度应为：u=1.43m/s。

2023年，游泳者到达河对岸的最大速度为：v=0.45m/s。

因为2023年游到终点的最大速度为0.45m/s，而2023年的最小速度为1.43m/s，所以2023年游过人数的百分比比2023年游过的百分比大。

由上可知，能够成功到达终点的选手速度必须大于1.43m/s。