数学实验8月13日作业

1.取不同的初值计算下列平方和形式的非线性规划，尽可能求出所有局部极小点，进。

而找出全局极小点，并对不同算法（搜索方向、搜索步长、数值梯度与分析梯度等）的结。

果进行分析、比较。

2).,4).，其中。

解：(2)由题意设。

先求（文件名为再求（文件名为解得近似解为或或或或或或或或，取初值（exam0705grad_利用matlab计算可得以下表中数据：

当取初值（exam07051grad_利用matlab计算可得以下表中数据：

因为不同步长搜索到相同的最优解，但最优值不同，所以此时初值离最优解很远。继续取不同初值求解（只需在程序中不断改变初值即可）。

当初值取时可得到以下数据。

综上全局极小点为，局部极小点，。

8．取不同的初值计算下列非线性规划，尽可能求出所有局部极小点，进而找出全局极小点，并对不同算法（搜索方向、搜索步长、数值梯度与分析梯度等）的结果进行分析、比较。

其中，,。解：(2)

1. 设计程序如建立功能函数，便于调用。

function[f,g]=exam070702fun(x)

a1=[4,4]';

a2=[2.5,3.8]';

c=[0.7,0.73];

f=1/((x-a1)'*x-a1)+c(1))-1/((x-a2)'*x-a2)+c(2));

if nargout>1

g(1)=2*(x(1)-a1(1))/x(1)-a1(1))^2+(x(2)-a1(2))^2+c(1))^2+2*(x(1)-a2(1))/x(1)-a2(1))^2+(x(2)-a2(2))^2+c(2))^2 %该为梯度函数的两个方向。

g(2)=2*(x(2)-a1(2))/x(1)-a1(1))^2+(x(2)-a1(2))^2+c(1))^2+2*(x(2)-a2(2))/x(1)-a2(1))^2+(x(2)-a2(2))^2+c(2))^2

end设计脚本程序如。

opt1=optimset('largescale','off','maxfunevals',1000,'tolfun',1e-8,'tolx',1e-8,'gradobj','on');

opt2=optimset(opt1,'hessupdate','dfpopt3=optimset(opt1,'hessupdate','steepdesc');opt4=optimset(opt1,'linesearchtype','cubicpoly');

opt5=optimset(opt5,'hessupdate','dfp');

opt6=optimset(opt5,'hessupdate','steepdesc');

x0=[3,3]';

x0=[4,4]';

x0=[5,5]';

x0=[2,7]';

x0=[10,10]';

x0=[50,20]';

x0=[1,10]';

x0=[50,100]';

x0=[43,2]';

x0=[20,43]';

[x1,v1,exit1,out1]=fminunc(@exam070702fun,x0,opt1)

x2,v2,exit2,out2]=fminunc(@exam070702fun,x0,opt2)

x3,v3,exit3,out3]=fminunc(@exam070702fun,x0,opt3)

x4,v4,exit4,out4]=fminunc(@exam070702fun,x0,opt4)

x5,v5,exit5,out5]=fminunc(@exam070702fun,x0,opt5)

x6,v6,exit6,out6]=fminunc(@exam070702fun,x0,opt6)

运行结果及分析。

得出答案；制成**。

初值设定为（20，43）

可以看到采用分析方法(给定梯度函数) 比起默认的数值方法得到结果所需要的调用次数明显减少。dfp算法的函数调用次数较少。

改变初值，采用默认搜索方向bfgs，默认搜索步长，给定梯度函数，得到的结果如下：

可以看到，改变初值对结果的影响很大。

结论：由上面计算结果得出，无论采用那种计算方法最终都可以得到函数的极小值的，而采用dfp算法函数的调用次数较少；分析法计算梯度函数效果较好；最终结果取哪一个局部极值同初值密切相关。

5. 某分子由25 个原子组成，并且已经通过实验测量得到了其中某些原子对之间的距离（假设在平面结构上讨论），如下表所示。请你确定每个原子的位置关系。

解：问题分析。

每个原子的位置都是未知的，在坐标系中只有相对的位置参数，不妨固定原子1的坐标为。并且分子可以在平面内任意旋转，很难确定每个原子的绝对位置，表中给出了52组数据，可以得到52个方程，而未知数个数为48个（每个原子的，坐标）。属于超定方程组，没有确定的解，只能求得最优解。

故采用最小方差标准来求最小二乘解得到最优解。

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