中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院。
离散数学课程作业4（共 4 次作业）
学习层次：专科涉及章节：第5－6章
1． 设n是所有自然数的集合，对下面每一种情况，判断*是否结合运算：
a. a*b=max(a,b);
b. a*b=min(a,2);
c. a*b=a+b+3;
d. a*b=a+2b
2．设是一个代数相系统，其中★是一个二元运算，证明对a中的任意a和b，有a★b=a.
a) 证明★是可结合的运算。
b) ★是可交换的吗？
3. 设是一个半群，对于每一个a和b，若a≠b，有a*b≠b * a.
a) 证明对a中的一切a,有。
a*a ==a.
(b) 证明对a中的一切a和b,有。
a*b*a= a.
c) 对a中的一切a、b和c,证明：
a*b*c= a *c
提示：注意，条件等价于若a*b=b * a. 有a=b.)
4. 设是一个半群，a是a中的一个元素，使得a中的任意x,a中就存在满足下面条件的u和v:
a*u= v* a
证明a中存在单位元。
5. 设是一个半群，且e是一个左单位元，而且对a中的任意x,a中存在，使得x=e .
a) 证明对a中的一切a、b和c, 如果 a*b = a *c,则 b=c
b) 用证明e是单位元来证明是一个群。
6. 设g是所有非零实数集合，且a*b=, 证明是一个阿贝尔群。
7. 设是一个独异点 ,如果，都有。其中e是单位元，证明是一个阿贝尔群。
8. 证明在一个独异点中所有左可逆元的集合形成一个子独异点。
9. 在整数集z上定义二元运算*,x*y=x+y-2, 求出单位元，对存在逆的元素，求其逆元。
10. 证明在一个可交换的独异点中所有的幂等元的集合构成独异点。
11. 设是一个群，定义g的子集h为
h= 试问h对于运算能否构成的子群。
h，*〉是〈g，*〉的子群。
12．在整数集z上定义二元运算*,x*y=x+y-xy, 无单位元，任意元素x≠1,x无逆元。 命题正确与否？
参***。1.解： a). 可结合(a*b)*c=cmax(a,b,c)= a*(b*c)
b). 可结合(a*b)*c=min(min( a,2),2)= min( a,2)= a*(b*c)
c). 可结合(a*b)*c=(a+b+3) *c =a+b+c+6= a*(b*c)
d). 不可结合因为(a*b)*c=(a+2b) *c =a+2b+2c
a*(b*c)=a*(b+2c)=a+2b+4c
证明： a). 因为(a★b)★c= a★c=a=a★(b★c), 所以★是可结合的。
b). 因为a★b=a ≠ b★a =b 所以★是不可交换的。
a). 证明： 因为 (a*a) *a ==a*( a*a) 所以 a*a = a.
b) 证明对a中的一切a和b,有。
a*b*a= a.
c) 证明：因为 a *b* c = a*b*(c * a *c) =a*b*c *(a *c) (注意 a*b*a= a; (c * a *c) =c)
a *b* c=(a*c *a) *b* c=( a *c )*a * b* c
所以 a*b*c *(a *c) =a *c )*a * b* c, 即a*b*c= a *c
4. 证明： 因为取x=a 由已知存在ua,va 使得 a*ua= va* a
对于任意b∈a， 存在vb∈a，使得 vb* a=b (注意条件)
而 b*u a=( vb* a) *ua=vb* (a * ua)= vb* a=b 即u a是的右单位元，同理，v a是的左单位元，而ua= ua*v a= v a 所以ua(= v a) 是的单位元。
5. 证明： a) b=e*b =*a*b)= a*c)= a)*c=e*c=c
b) 任意y∈a *(y*e)= y)*e=e*e=e=*y
说明了 y*e= y, e是右单位元e是单位元，所以是一个群。
6. 证明 1).由乘法的结合律知*有结合律；
2). 由乘法在r上封闭知*封闭；
3). 由乘法的交换律知*有交换律；
4).单位元e=2,任意元素a,a-1=4/a. 所以是阿贝尔群。
证明：可结合，有单位元， a-1=a, 只证可交换：
因为 a*b= a-1* b-1=( b * a) –1= b * a可交换，所以是阿贝尔群。
8. 证明设h是独异点中所有左可逆元的集合，e 是的单位元。因。
为e*e=e，所以e是左可逆元，故e∈h且h非空。
设a,b∈h，则必存在元素，∈s，使得 * a = e , b = e ,于是。
所以，独异点中所有左可逆元的集合形成一个子独异点。
9. 解 x*e=x+e-xe=x 所以e=0 x*x -1=x+ x -1-x x –1=e=0 所以x –1 = x≠1)
10. 证明：设t是s的幂等元的集合(是s的子集)*可结合，a,b是幂等元是(ab)2=
ab) (ab)=(a(b a)b)= aa) (bb)=a2b2=ab *是封闭的；而ee=e所以e是幂等元。 所以中所有的幂等元的集合构成独异点。
11. 解： 对任意 x g，有x *e = e *x = x , 所以e h， 故h是g的非空子集。
任取a , b h,则对任意xg必有a* x = x * a, b *x = x *b ，于是根据群的性质：
h，*〉是〈g，*〉的子群。
12．解： 不对e=0是单位元； x≠1时x -1 =
离散数学 专升本 阶段性作业
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