高三数学练习。
一、选择题。
1．设集合m=，则m∩n等于（ ）
a． b． c． d．
2．以下说法错误的是（ ）
a．命题 “ 若x2-3x+2=0，则x=1 ” 的逆否命题是 “ 若x≠1，则x2-3x+2≠0 ”.
b．“”是“函数在区间上单调”的充分不必要条件。
c．若p∧q为假命题，则p , q均为假命题。
d．若命题p: x0∈r，使得+x0+1<0，则﹁p: x∈r, 都有x2+x+1≥0.
3．在等差数列{}中，已知，则（ ）
a．8 b．16c．20d．24
4．已知平面向量的夹角为且。在中，，，为中点，则（ ）
a．2 b．4 c．6 d．8
5．若存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
6． 函数（其中＞0，＜）的图象如图所示，为了得到。
的图象，只需将的图象（ ）
a．向右平移个单位长度 b．向左平移个单位长度。
c. 向右平移个单位长度 d. 向左平移个单位长度。
7. 已知为偶函数，当时，，则不等式。
的解集为（ ）
a． b． c． d．
8. 设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
二、填空题。
9. 已知是等差数列的前项和，若，，则数列的前20项和为。
10. 已知实数满足， 则的最大值为。
11. 当时，不等式恒成立，则实数的最大值为。
12. 数列满足，，则。
13．已知函数＝， 对于下列命题：
函数的最小值是；
函数在上是单调函数；
若＞0在上恒成立，则的取值范围是；
对任意的＜0，＜0且≠，恒有。
其中正确命题的序号是写出所有正确命题的序号 )．
14．在中，已知，，，为线段上。
的点，且，则的最大值为。
三、解答题
15．（本小题13分）已知函数f (x)＝cosx (sinx＋cosx)－．
ⅰ）若sin (＋且0＜α＜求f (α的值；
ⅱ）当f (x) 取得最小值时，求自变量x的集合．
16．（本小题13分）
在△abc中，角a、b、c的对边长分别为a、b、c，已知sin b－cos b=l，且b=1．
（ⅰ）若a=，求c的值；
（ⅱ）设ac边上的高为h，求h的最大值．
17．（本小题13分）
已知数列的前项和， 且的最大值为．
ⅰ）确定常数的值并求；
ⅱ）设，求数列的前项和。
18.(本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面．点是线段的中点，点是线段上的动点．
ⅰ）若是的中点，求证： /平面；
ⅱ）求证：；
ⅲ）若，，当三棱锥的体积等于时，试判断点在边上的位置，并说明理由。
19．（本小题14分）
已知函数（）在区间上有最大值和最小值．
设．ⅰ）证明：，恒成立；
ⅱ）若不等式在上有解，求实数的取值范围。
20．（本小题14分）
已知函数，其中，.
ⅰ）当，时，求函数的最小值；
ⅱ）设函数，当时，若对任意的，总有成立，试用表示的取值范围。
高三数学练习。
一、选择题。
1．设集合m=，则m∩n等于（ c ）
a． b． c． d．
2．以下说法错误的是（ ）
a．命题 “ 若x2-3x+2=0，则x=1 ” 的逆否命题是 “ 若x≠1，则x2-3x+2≠0 ”.
b．“”是“函数在区间上单调”的充分不必要条件。
c．若p∧q为假命题，则p , q均为假命题。
d．若命题p: x0∈r，使得+x0+1<0，则﹁p: x∈r, 都有x2+x+1≥0.
解：c．3．在等差数列{}中，已知，则（ ）
a．8 b．16c．20d．24
4．已知平面向量的夹角为且。在中，，，为中点，则（ ）
a．2 b．4 c．6 d．8
解： 选a．
5．若存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
解：，令，，，选b.
6． 函数（其中＞0，＜）的图象如图所示，为了得到。
的图象，只需将的图象（ ）
a．向右平移个单位长度 b．向左平移个单位长度。
c. 向右平移个单位长度 d. 向左平移个单位长度。
解：c.7. 已知为偶函数，当时，，则不等式。
的解集为（ ）
a． b． c． d．
解：a．8. 设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”，若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
解：函数为“倍缩函数”，且满足存在，使在上的值域是，在上是增函数；
即；方程有两个不等的实根。
设， 有两个不等的正实根。
故解得，故选a．
二、填空题。
9. 已知是等差数列的前项和，若，，则数列的前20项和为。
解：，，构造，等差数列。
10. 已知实数满足， 则的最大值为。
解：画出可行域如图所示，目标函数过点。
处时，取得最大值，最大值为。
11. 当时，不等式恒成立，则实数的最大值为。
解：，当时，取最小值。
故，实数的最大值为。
12. 数列满足，，则。
13．已知函数＝， 对于下列命题：
函数的最小值是；
函数在上是单调函数；
若＞0在上恒成立，则的取值范围是；
对任意的＜0，＜0且≠，恒有。
其中正确命题的序号是写出所有正确命题的序号 )．
解：① 14．在中，已知，，，为线段上。
的点，且，则的最大值为。
以c为原点，ca为x轴，cb为y轴，建立平面直角坐标系，则p点坐标为（x，y），点p**段ab上，由。
三、解答题 （本大题共6小题，共80分。 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
15．（本小题13分）
已知函数f (x)＝cosx (sinx＋cosx)－．
ⅰ）若sin (＋且0＜α＜求f (α的值；
ⅱ）当f (x) 取得最小值时，求自变量x的集合．
解：（ⅰ02分。
sin即4分。
f(α)cosα(sinα＋cosα)－cos (sin＋cos6分。
ⅱ）f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x8分。
sin2x＋cos2x＝sin(2x10分。
当2x＋＝2kπ－，k∈z11分。
即x＝kπ－，k∈z时，f(x)取得最小值。
此时自变量x的集合为{x|x＝kπ－，k∈z13分。
16．（本小题13分）
在△abc中，角a、b、c的对边长分别为a、b、c，已知sin b－cos b=l，且b=1．
（ⅰ）若a=，求c的值；
（ⅱ）设ac边上的高为h，求h的最大值．
解：（ⅰ因，得。 …3分。
又由a=，得， …4分。
由，得。 …6分。
ⅱ），9分，…11分。
当且仅当时取等号，的最大值为．…13分。
17．（本小题13分）
已知数列的前项和， 且的最大值为．
ⅰ）确定常数的值并求；
ⅱ）设，求数列的前项和。
解：（ⅰ1分。
又因，当时 .分。
当时，；分。
当时，；分。
因对时也成立。 故 7分。
ⅱ）由（ⅰ）得分。
9分。10分。
两式相减，得。分。分。
18.本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面．点是线段的中点，点是线段上的动点．
ⅰ）若是的中点，求证： /平面；
ⅱ）求证：；
ⅲ）若，，当三棱锥的体积等于时，试判断点在边上的位置，并说明理由。
ⅰ）证明：在中，因为点是中点，点是中点，所以//．
又因为平面，平面，
所以//平面．……4分。
ⅱ）证明：因为平面，
且平面，所以．
又因为底面是正方形，且点是的中点，所以．
因为，所以平面，而平面，所以． …9分。
（ⅲ）点为边上靠近点的三等分点．
说明如下：由（ⅱ）可知，平面．
又因为平面，平面，所以。
设． 由得，，
所以．由已知， 所以．
因为，所以点为边上靠近点的三等分点．……14分。
19．（本小题14分）
已知函数（）在区间上有最大值和最小值．
设．ⅰ）证明：，恒成立；
ⅱ）若不等式在上有解，求实数的取值范围。
解1分。因为，所以在区间上是增函数2分。
故，……3分。
解得． …4分。
故。因为，所以，恒成立。 …6分。
ⅱ）由已知可得，……7分。
所以，可化为，……8分。
化为，……9分。
令，则。……10分。
因，故，……11分。
记，因为，故，……13分。
所以的取值范围是． …14分。
20．（本小题14分）
已知函数，其中，.
ⅰ）当，时，求函数的最小值；
ⅱ）设函数，当时，若对任意的，总有成立，试用表示的取值范围。
解：（ⅰ当，时，
＞0，∴0＜＜时，；＞时，.
故在上单调递减，在上单调递增。
在处取得最小值，即。 5分
ⅱ）由题意，对任意的，总有成立。
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