第十节函数模型及其应用。
知识能否忆起]
1．几种常见的函数模型。
2.三种增长型函数模型的图象与性质。
小题能否全取]
1．(教材习题改编)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
a．f(x)>g(x)>h(x) b．g(x)>f(x)>h(x) c．g(x)>h(x)>f(x) d．f(x)>h(x)>g(x)
答案：选b 由图象知，当x∈(4，＋∞时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．
2．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )
解析：选b 由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选b.
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为c(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )
a．36万件b．18万件c．22万件d．9万件。
解析：选b 利润l(x)＝20x－c(x)＝－x－18)2＋142，当x＝18时，l(x)有最大值．
4．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0解析：依题意有y＝a(1－p%)x(0答案：y＝a(1－p%)x(05.
有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为围墙厚度不计)
解析：设矩形的长为x m，宽为m，则s＝x·＝(x2＋200x)．当x＝100时，smax＝2 500 m2. 答案：2 500 m2
总结 1.解答函数应用题的一般步骤。
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
2．解函数应用题常见的错误。
(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；
(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件．
典题导入。例1] 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
自主解答] 设该单位每月获利为s，则s＝100x－y ＝100xx2＋300x－80 000
－(x－300)2－35 000，因为400≤x≤600， 所以当x＝400时，s有最大值－40 000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
由题悟法。1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，对一次函数模型，主要是利用一次函数的图象与单调性求解．
2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．对二次函数模型，一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决．
3．在解决一次函数、二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．
以题试法。1．(2012·抚州质检)一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm与60 cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问怎样剪，才能使剩下的残料最少？
解：如图，剪出的矩形为cdef，设cd＝x，cf＝y， 则af＝40－y.
△afe∽△acb，∴＝即＝.
y＝40－x.剩下的残料面积为 s＝×60×40－x·y＝x2－40x＋1 200
(x－30)2＋600. ∵0∴在边长60 cm的直角边cb上截cd＝30 cm，在边长为40 cm的直角边ac上截cf＝20 cm时，能使所剩残料最少．
典题导入。例2] (2012·孝感统考)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.
25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为万元．
1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)；
2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？
自主解答] (1)当0当x>500时，f(x)＝0.05×500－×5002－＝12－x，故f(x)＝
2)当0故当x＝475时，f(x)max＝. 当x>500时，f(x)＝12－x<12－＝<故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．
由题悟法。1．很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．
2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．
以题试法。2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.
80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．
1)求y关于x的函数；
2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，当x∈时，y≤f<26.4； 当x∈时，y≤f<26.4；当x∈时，令24x－9.
6＝26.4，解得x＝1.5.
所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5吨， 付费s1＝4×1.
8＋3.5×3＝17.70元；
乙户用水量为3x＝4.5吨付费s2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70元．
典题导入。例3] (2012·广州模拟)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的。
1)求每年砍伐面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？
自主解答] (1)设每年降低的百分比为x(0 泰州二中高三数学教学案 第10课时函数模型及其应用 二 一 基础练习 1 某商场 甲 乙两种不同 的笔记本电脑，其中甲商场商品因供不应求，连续两次提价10 而乙商品由于外观过时而滞销，只得连续两次降价10 最后甲 乙电脑均以9801元售出，若商场同时甲 乙电脑各一台与 不升不降比较，商场盈利情况的序... 一 选择题。1 2013 湖北五市统考 某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20 另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同 若以今年为第一年，如果将第n年企业付给工人的工资总额y 万元 表示成n的函数... 第二十二课时函数模型及其应用 2 课时作业。1.某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下 a.克 b 1 0.5 3克。c 0.925克d.克。2 按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8 零存每月利息2 现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币 a 2 ...10函数模型及其应用
安徽专用 高考数学函数模型及其应用课后作业文
2019文科数学总复习 函数模型及其应用 2 课时作业