练习7（等比数列1）
一、知识要点。
1．（为非零常数，）恒成立；2．（或成等比数列）；3．；
4．（为非零常数）；5．或；6．或。
二、巩固练习。
9．解一：设四数为，则，或。
四数为或。
解二：设四个数为，则，则或。
10．解：⑴，则或。
当时，公比，则。
当时，公比，则。
或。11．解：，∴则。
12．⑴ 数列递增的充要条件是（）恒成立，即。
∵，∴或。 数列递减的充要条件是（）恒成立，即。
∵，∴或。13．证明：⑴，
14．解：
公比，∴。练习8（等比数列2）
一、知识要点。
1．必要非充分条件；2．； 3．等比； 4．等差； 5．；
二、巩固练习。
1．； 2．； 3．； 4．或； 5．； 6．； 7．；
8．解：，∴
的通项公式为，∴ 数列的通项公式为。
9．解：，
又∵，∴数列是等比数列。
10．解：设公差为，则，则数列是等比数列，∴或。当时，公比，则，∴
当时，公比，则，∴
11．证明⑴：，又，∴是等比数列。
解⑵：，通项公式为。
12．解：⑴
设公比为，13．解：不一定是等比数列。
设，， 成等比数列（为常数）
即对任意恒成立。
当两公比，时，数列成等比数列；否则不是等比数列。
14．⑴ 证明：，又，∴ 数列是等比数列。，即，又。
数列是等比数列。，∴数列的通项公式为。
练习9（等比数列3）
一、知识要点。
1．时，时；2．；3．；
4．， 5．都不为零时构成。
二、巩固练习。
1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．没有正确选择项。
8．解：是等比数列，则。
或。当时，公比，则，当时，公比，则。
9．解： 10．解：如果公比，则，不可能。
或。当时，则（舍去）
当时，则，∴ 项数。
11．解：通项公式。
12．解：当时，；当时，
当时，， 13．解：“”是“数列成等比数列”的充要条件。
充分必”：当时， ，又。
，∴数列成等比数列。
必要性”：设成等比数列，，
），∴则。14．解：⑴，
又，∴ 又。
数列是等比数列，。，则。
数列是等差数列，公差为，则。
数列是等差数列，其前项和为。
练习10（等差数列与等比数列）
一、知识要点。
1．公比为的等比； 2．公差为的等差； 3．；4．二、巩固练习。
1．（，为非零常数）； 2．（）
3．数列是等比数列，公比为； 4．； 5．（不唯一）；
6．； 7．数列是等比数列，公比为；
8．证明：⑴，数列是等比数列。
类似结论：数列是等差数列。，∴数列是等差数列。
9．证明：⑴，通项公式，，∴数列是等差数列。，，∴通项公式，，∴数列是等比数列。
10．证明：⑴，
类似结论：（或）
证明：，则。
11．⑴ 数列为等比数列，，则，当时，，即等式成立。
数列为等比数列，，则，当时，。
12．证明：⑴，则，即。
类似结论为：
证明：，∴13．⑴ 猜想正确，证明如下：
对于等差数列，若（），则。
即。 类似命题：在等比数列中，若（），则。
证明：。练习11（数列求和）
一、知识要点。
1．； 2．； 3．（或）；
二、巩固练习。
8．解：，，数列是等比数列，
9．解：第项。
前项和为。10．证明：当公比时，，，等式成立。
当公比时，，则。
11．解：，当时，
当时，。12．解：⑴，
数列是等比数列，∴，通项公式。
令，数列是等差数列，首项为，公差为。
当时， 当时，
13．解：当时，
当时，。14．解：⑴ 数列是等差数列，公差。
通项公式为，∴，即。
当时，，即。
当时， 练习12（递推数列）
一、知识要点。
1．前几项； 2．⑴ 等差，；⑵等比，；⑶二、巩固练习。
7．解：⑴（则。
相乘得：，∴数列是等差数列，则。
8．解：，即数列是常数列，设，则，∴
数列是等比数列，，即。
9．证明：⑴，又。
数列是等比数列。，∴
前项和为。10．解：设年为第一年，以后每一年比上一年新增汽车（万辆），第年汽车数量为（万辆）
设，则， 数列是等比数列，，
当，即时，，且无限接近，当且仅当，∴
当，即时，数列是递减数列，
当时， 综合：每年新增汽车数量不超过（万辆）。
11．解：⑴，相加得。
设。**）由（*）得。
当（）（为偶数）时，，
，即。当（）（为奇数）时，
，化简。12．解：⑴ 即。
，∴数列是递减数列。
① 数列满足，若，则数列是有穷数列；
数列满足，若，则数列是有穷数列；
数列满足，则数列是有穷数列的充要条件是存在，使得；
数列满足，则数列是有穷数列且项数为m的充要条件是。
练习13（与的关系）
一、知识要点。
3．⑴，4．等比。
二、巩固练习。
7．解：，则数列是等差数列，，则。
8．解：当时，，则，
数列是等差数列，首项，公差为，则，∵
通项公式为。
9．解：⑴，
），又，∴ 数列是等比数列，则，则数列的前项和为。
10．解：⑴，则。
当时，，即，∴ 是等比数列。
由⑴，则。
时最小。11．解：（）数列是等比数列，则，∴ 数列的通项公式为。
12．解：，（
递推公式，∴是等比数列，则，∴是等差数列，∴ 通项公式为。
记（其中）
13．解：，
即或（），最大当且仅当满足，
最大当且仅当满足，
14．解：⑴，当时，
令。即，，∴
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